Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рк определяется из условий
lm (/ - Рк) = В1\ (Я,*) ...ВТ (Xk) GТ (Xk) М+) = М+) (2.29)
и Кег (/ - Я*) = Ва-х (I*). ..ВТ' (X*) G_ (X*) Л^>= ЭД_). (2.30)
Покажем теперь, что приведенное решение задачи Римана (2.1) единственно.
Предположим, что эта задача имеет два решения G±(x, X) и G±(x, X), и
опять временно опустим зависимость от х. При вещественных X мы имеем
соотношение
G';1 (X) G+ (X) = Gi (X) GZ1 (X), (2.31)
вытекающее из (2.1). Левая часть этого равенства аналитична в верхней
полуплоскости, кроме точек X-Xj, а правая аналитична в нижней
полуплоскости, кроме Х = Х/= 1, ..., п. При больших \Х\ левая и правая
части равенства (2.31) нормированы на
I. Если сингулярности при указанных значениях X отсутствуют, то по
теореме Лиувилля мы получаем, что левая и правая части
(2.31) тождественно равны I, откуда следует теорема единственности.
Для доказательства регулярности рассмотрим, для определенности, левую
часть (2.31). В окрестности точки X=Xj матрицы G+(X) и GZ1 (X) имеют
разложения
С+(Я) = Л + 0(|Я-Яу|), GZ1(X) = -В-~ + 0(1), (2.32)
А - А •
причем
АВ = ВА = 0. (2.33)
Далее,
lmA = lmG+(Xf) = N^K (2.34)
и из (2.33) следует, что подпространство Nf* содержится в Кег В и
вследствие одномерности совпадает с ним:
А,/'> = Кег В. (2.35)
Аналогичное разложение имеет место и для матриц G+ (X) и G+"1 (?"); при
этом по-прежнему
1mA' =Nf\ =Кег Д', (2.36)
П(Я) = Д1(Я)...Д"(Я) = Ц Ы
/=1 V
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 89
Теперь видно, что вычет при X = Xj матрицы-функции (X) G+ (X) имеет вид
В'А и очевидно исчезает.
Аналогичным образом рассматривается и правая часть в
(2.31), что доказывает регулярность обеих частей этого равенства на всей
плоскости.
В силу доказанной теоремы единственности, в частности, получаем, что
инволюция (2.17) переносится и на случай задачи Римана с нулями.
2. Вывод дифференциального уравнения.
Рассмотрим введенные выше матрицы F±(x, X) (см. (2.2) -
(2.3)), которые, очевидно, удовлетворяют уравнению
F-(x, X)=F+(x, X)G(X). (2.37)
Матрица F+(x, X) аналитична и невырожденна в верхней полуплоскости, за
исключением простых полюсов в точках X=Xj, / = = 1, ..., п, a F- (х, X)
аналитична в нижней полуплоскости и имеет простые нули при X = Xj, /= 1,
..., п. Матрицы F±(x, X) удовлетворяют условиям
Im /v1 (х, Xj) = N(f\ Кег F_ (х, Xj) = N(f\ / = 1,. .., n, (2.38)
где подпространства строятся по ¦у,-, у,- (см. § 1) и не зависят от х.
Ниже мы докажем, что матрицы F±(x, X) абсолютно непрерывны. Поэтому
дифференцируя (2.37) по х, получаем, что
~ (х, X) = (х, X) G (X) = ^±- (х, X) /V1 (х, X) F_ (х, X), (2.39)
dx dx dx
или
(X, X) f:' (x, X) = ?=- (X, X) f:1 (x, x). (2.40)
dx dx
Левая и правая части этого равенства допускают аналитическое продолжение
в верхнюю и нижнюю полуплоскости соответственно, несмотря на то, что
матрица F+(x, X) сингулярна при X = XS, a F7J(x, X) -при X=Xj, j= 1, ...,
п.
Доказательство аналогично приведенному выше для теоремы единственности.
Вводя представления
F+(x,X) = -^r + 0(l) (2.41)
А -* К j
и
F;1 (х, X) = В (х) + О (| X - Xj |), (2.42)
имеем
lm B(x) = N^ (2.43)
00
ГЛ. П. ЗАДАЧА РИМАНА
и очевидные равенства
А(х)В(х)=В(х)А(х)= 0. (2.44)
dA
В силу независимости Лт<.м от х получаем, что Кег (х) содер-
' ах
жит N(p , так что, в силу (2.43) и (2.44), вычет функции dF+ ^д
(х, X)F~ {х, X) при X=Xj равен -(х)В(х) и исчезает. Тем
самым левая часть в (2.40) несингулярна. Аналогичным образом доказывается
регулярность правой части в (2.40).
dF
Таким образом, функция (х, X)Fl1(x, X) при каждом х является целой
функцией X. Рассмотрим ее асимптотику при
| X | >'ОО .
В нижней полуплоскости X для этого воспользуемся интегральным
представлением
F. (х, X) = [l + ]^ (х, s) (r^dsj Е (х, X), (2 45)
следующим из принадлежности G_(x, X) кольну SR-*2'. Предположим на время,
что функция Ф_(х, s) абсолютно непрерывна
<ЭФ_ <ЭФ_ <Э2Ф_ ,
по х и s и , ,-как функции s - принадлежи---------------------------
----------ds дх ds
жат L(2X2)(0, оо). Тогда при |^|->-оо, Im^^O, функция F-(x, X)
имеет асимптотику
Л(^Ч=(, + (r)ЩЦ"+0(Д1))?(^Д), (2.46,
допускающую дифференцирование по х. Отсюда получаем, что при |7,|->-оо в
нижней полуплоскости
(х, X) FZ1(x,X) = ^+±l ст3, Ф_ (х, 0) ] +о(1). (2.47)
dx 2i 2
Аналогично из представления
F;1 (х, X) = Е'1 (х, X) + J Ф+ (х, s) eiks ds'j (2.48)
имеем при |7,|->-оо, ImA^O,
^ (х, X) F? (х, X) = -F+ (х, X) (Xt i) = dx dx
= ^1+1[О:1,ф+(х,0)]+о(1). (2.4?)
Ui 2
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИИ СЛУЧАИ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ
91
По теореме Лиувилля получаем отсюда, что
dF+ / ^ ^ ^ \__dF_ j ^ ^ ^ 1 \_ Ха3
где
^ (xA)F,(x,X) = J~(x,X)FZ1(x,X) = ^-+U0(x), (2.50)
dx dx 2i
U0(x) = jlas, Ф+ (x, 0)] = j [as, Ф_(х, 0)]. (2.51)
Таким образом, заключаем, что уравнение вспомогательной линейной задачи
(2.4) выполняется. Матрица U0(x) антидиаго-нальна и удовлетворяет условию
инволюции
Ul (х) = xU0 (х) т, (2.52)
которое следует из свойства (2.16), переписанного в терминах
