Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
теряется, и возникает дополнительная задача о совпадении матриц t/0+) (х)
и (х).
На этом заканчивается сравнение двух подходов к решению обратной задачи.
В следующем параграфе мы предъявим явное решение обратной задачи в важном
частном случае, когда функция Ь(Х) исчезает. Этот случай отвечает
солитонам модели НШ,
функции
с матричным элементом (Г+(х, у))ц
120 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
§ 5. Быстроубывающий случай. Солитонные решения
Здесь мы рассмотрим важный частный случай, в котором обратная задача
решается явно. Именно, мы разберем случай, когда
Ь(к) = 0 (5.1)
при всех к, так что задача Римана о факторизации тривиализу-ется и
сводится к определению матричных множителей Бляшке- Потапова. Последняя
задача имеет смысл только при и<0, что мы и будем предполагать.
Как уже отмечалось в § 1, отношение коэффициентов перехода Ь(к)/а(к)
играет роль коэффициента отражения в теории рассеяния для вспомогательной
линейной задачи. Поэтому эту задачу и все ее характеристики в случае
(5.1) принято называть безотражательными.
Перейдем теперь к решению обратной задачи. Начнем со случая одной пары
нулей к0, к0, 1ш^0>0, и чисел у0, у0, где Yo^O, Решения задачи Римана
имеют вид
G+ (х, к) =В (х, к), G_ (х, к) =В~' (х, к), (5.2)
(см. (2.18)), где В(х,к)- матричный множитель Бляшке - Потапова
В (х,к) = / + Я° Р (х), (5.3)
к - ко
а Р(х) -ортогональный проектор
Р (х) =-----------(I Vo М I2 То м ) (5.4)
1+lToMI2 \То (¦*¦) 1 У
п Чо(х)=уоеЛоХ (см, формулы (2.22), (2,24) и (2.27)). Матрица U0(x) вида
(2.5)
и0
(tm) = м \W)' <5-5)
участвующая в вспомогательной линейной задаче (2,4), дается формулой
(2,105):
ио [ о3, jt (дг) ], (5.6)
где матрица л (л;) определяется из разложения
В{х,к) = 1 + ^ +0(г±~) (5.7)
и имеет вид
я(х) = Ьй.р(х) (5.8)
§ 5. БЫСТРОУБЫВАЮЩИИ СЛУЧАИ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 121
(см. (2.106), (2.107)). В результате для комплексной функции ¦ф(х)
получаем следующее простое выражение:
= _ (5>9) У к 1 I Yo С*-) I2
Формула (5.9) дает простейший пример безотражательных функций ф(л;),
ф(х). Они зависят от двух произвольных комплексных чисел к0, у0 с
условиями 1тД,0>0, ^о^О, являются бесконечно дифференцируемыми и
экспоненциально убывают при I А'|->-00.
Рассмотрим теперь эволюцию этих начальных данных по уравнению НШ. Из
формул (3.7), описывающих динамику коэффициентов перехода, следует, что
условие (5.1) сохраняется со временем, а
Уо(х'0 = е 1Л°у0(х). (5.10)
Отсюда получаем, что решение уравнения НШ - комплексная функция ф(х, t)-
остается безотражательной и по-прежнему дается формулой вида (5.9):
ф(х,/) = -21т/-"------------- . (5.11)
У к 1 + I То (х, 0 I2
Вводя обозначения
л = _1т V и = 2 lmk0, v= 2 Re L,,
У М (5-12)
*о = ln|y0|, cp0 = argy0,
Im а0
перепишем формулу (5.11) следующим образом:
( [ VX (и? - У2) я
"р(*'(фо + -+--------4----
ф(х, t) = A ^------------------------------------------. (5.13)
ch
[ и
| - (x-vt - х0)
Представление (5.13) показывает, что решение -ф(лг, t) является гладкой
функцией, локализованной вдоль направления
x(t)=x0 + vt, (5.14)
и его центр движется с постоянной скоростью v. Кроме того, это решение
осциллирует как в пространстве, так и во времени с частотами и/2 и (и2-
и2)/4 соответственно. Параметр А играет роль амплитуды, а х0 и ф0 -
соответственно начального центра и начальной фазы.
122
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Итак, мы убедились, что построенное решение ф(х,/) уравнения НШ
представляет собой изолированную волну, обладающую следующими свойствами:
1) при распространении она сохраняет свой профиль;
2) она имеет конечную энергию и, более того, значения всех интегралов
движения на решении (л:, t) конечны.
Следуя установившейся традиции, решения с указанными свойствами мы будем
называть солитонами в широком значении этого термина. В физической
литературе под солптоном иногда вообще понимают частицеподобное решение -
т. е. локализованное решение с конечной энергией.
Поэтому функцию ф(х, t), определенную формулой (5.13), будем называть
солитонным решением уравнения НШ для быстроубывающего случая. Оно
описывает свободное движение солитона.
Отметим, что существование солитонов стало возможным
лишь благодаря нелинейному члену в уравнении НШ, а в линейном пределе и-
>-0 солитоны отсутствуют. Действительно, рассмотрим решение гр(*Д) при и-
"-0. Для конечности предела необходимо, чтобы 'у0=Уи'То" и тогда
a x-o^t
ф0 (x,t) = Нш Ф (х, i) = сйе ° °, (5.15)
Х-"0
где c0=2Y0ImA,0. Функция ф0(*,/) очевидно удовлетворяет линейному
уравнению Шредингера и обладает свойством 1), однако имеет бесконечные
энергию и импульс. Более того, общее решение гДхД) линейного уравнения
Шредингера дается интегралом Фурье
ОС
ty(x,t)= § Д-Л'-':'ЛФ (k) dk, (5.16)
-ОО
причем для конечности его энергии и импульса необходимы
определенная гладкость и быстрое убывание функции ф(Я). Однако для таких
фД) из принципа стационарной фазы следует, что решение ф(х, 0 убывает при
|^|-коо как 1/У|^| вдоль любого направления х-t^=const. Таким образом, в
