Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 30

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 180 >> Следующая

.решений_/7±(х, X). Поэтому она представляется в виде U0(x) -
О еф (х) |и совпадает с матрицей (2.5), если ввести пара-
, Ф (х) 0 / _
метр уд ср(х) =Ух ф(х). Введение у в этом месте выглядит несколько
условно; оно нужно для буквального совпадения формул (1.2.4) и (2.5).
Вернемся к предположению о дифференцируемости ядер Ф±(х, s). В общем
случае при наших предположениях о функции Ь(Х) это свойство не имеет
места, и справедливость дифференциального уравнения (2.4) будет доказана
в следующем пункте при помощи процедуры замыкания.
Обратим внимание, что приведенный вывод дифференциального уравнения (2.4)
не использовал пока никаких специальных свойств матрицы G (х, X), кроме
условия однозначной разрешимости задачи Римана, инволюции и явной
зависимости от х. Таким образом, установленная связь задачи Римана с
дифференциальным уравнением (2.4) является весьма общей. При этом она
является локальной по х. Все сформулированные условия на G(x, X) будут
использованы при исследовании свойств матриц G±(x, X) и U0(x) как функций
переменной х.
3. Асимптотики матриц G±(x,X) при |х|->-оо.
Рассмотрим сначала регулярный случай задачи Римана, Мы будем использовать
уравнение Винера - Хопфа (2.11)
оо
П+ (х, s) + Ф (х, s) + ^ П+ (х, s') Ф (х, s - s') ds' = 0, (2.53)
О
s^O, где явно введена зависимость от х. Здесь матрица-ядро Ф(х, s) дается
формулой (1.30)
/ 0 eB (- s - х) \ /о с
92 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
где
со
Р (s) = -Г b (X)eriksdX, (2.55)
2л J
-СО
а П+(х, s) определяется из представления
00
G+1 (х, к) = I + ^ Q+ (х, s) etlsds. (2.56)
О
Матрица <D_(x,.s), участвующая в представлении
00
G_ (х,к) = I + ^ Ф_ (х, s) eriksds, (2.57)
О
следующим образом выражается через решение П+(х, s) уравнения Винера -
Хопфа:
оо
Ф_ (х, s) = Ф (х, - s) + ^ Q+ (х, s') Ф (х, -s - s') ds'. (2.58)
Введем запись матричных элементов матрицы Q+(x, s):
( A, (s) Вх (s) \
Q+ (х, s) = | хУ> (2.59)
\СХ (*) Dx (s) J K
подчеркивающую, что переменная x - параметр в уравнении Винера - Хопфа.
Учитывая (2.54), запишем матричное уравнение (2.53) следующим образом:
Ах (s) = ^ Р (s - х - s') Вх (s') ds',
(2.60)
Вх (s) = - ef) (- s - x) - e ^ kx (s, s') Bx (s') ds' (2.61)
0
00
Dx (s) = - e ^ jT(- s - x -f s') Cx (s') ds', (2.62)
0
oo
C,(s) = P(s - x) -2^[x(s, s') Cx(s')ds', (2.63)
5 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 9$
где
оо
kx(s, s')= ^$(u - s)f>(u - s')du, (2.64Х
-X
оо
lx (s, s') = ^ (J (s - и) (J (s' - u) du. (2.65)
X
Очевидно, что скалярные уравнения (2.61) и (2.63) вместе-с (2.60) и
(2.62) эквивалентны исходному уравнению Винера - Хопфа (2.53). Их
разрешимость непосредственно следует из упомянутой выше теоремы Гохберга
- Крейна. Однако нам необходимо исследовать зависимость решения Q+(x, s)
от переменной. х, играющей роль параметра, поскольку этим, в
силу первой
формулы в (2.51), определяется зависимость функций ф(х)г
ф(х) от х:
Ф(*) = тт=С*00 , ф (х) =--L В* (s) . (2.66>
У У. S=3 У И 5-0
Приведем схему исследования поведения решений уравнений
(2.61) и (2.63) как функций от х. В этих уравнениях участвуют
интегральные операторы К* и L* с ядрами kx(s, s') и tx(s, s')
соответственно, ограниченные в пространстве L,(0, оо) и непрерывные по
параметру х в смысле сходимости по норме. Для оценок норм встречающихся
нам интегральных операторов достаточно использовать очевидную оценку
оо
IАI < max f | A (s, s') | ds. (2.67)>
0<S'<CO J 0
Из теории Гохберга - Крейна следует, что операторы 1 + еКх и I + eLx при
каждом х обратимы в L,(0, оо). Отсюда получаем, что матрица Q+(x, s) как
элемент L(2X2) (0, оо) непрерывно зависит от х, так что при каждом X
матрицы G±(x, X) непрерывны по х.
Покажем, что нормы операторов (1 + еКх)~', (I + eLx)-1 в L,(0, оо)
равномерно ограничены по х, -оо<;х<;оо. Для этого мы докажем, что при х-
>-±оо операторы К* и L* соответственно имеют пределы К± и L+ в смысле
сходимости по норме и что операторы (1 + еК±)-1 и (I + eL±)~' существуют
и ограничены.
Рассмотрим для определенности оператор Кх. Представим его в виде
Кд= K + Rx, (2.68)
где К - интегральный оператор с ядром k(s-s'):
k(s)= ^ (иs) (и) du, (2.69)"
*S4 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
а ядро rx(s, s') оператора Rx имеет вид
-X
rx(s,s')=- ^ Р (" - s)f}(w- s')du. (2.70)
-ОО
Для нормы оператора R* имеем оценку
со - X
I R*K max f С |Р(ы - ЯР (и - s') \ duds =
n^R'^CO D J
0<S'<co '
0 -oo
max ^ (j|P(s)P(w- s')\ds du^l ^ |(3(w)|dwj , (2.71)
0!&S'<co
- CO -00
которая показывает, что эта норма исчезает при x-v+oo.
Оператор I+еК обратим, так как задача об его обращении представляет собой
скалярное уравнение Винера - Хопфа, которое сводится к задаче Римана для
функции
со
1 + е (s) ellsds = 1 + е | b (X) |2 = а+(Х) а. (X). (2.72)
-оо
Эта задача очевидно однозначно разрешима при е = 1, а при е = = - 1 ее
однозначная разрешимость следует из условия (А,) - формулы (2.15).
Решение а+(Х) дается формулой (2.6), где следует опустить произведение
множителей Бляшке, а а-(Х) = =а+(Х).
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed