Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
а(Х) дается формулой
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 85
причем в случае е=1 произведение элементарных множителей Бляшке
отсутствует.
4. Приведенная матрица монодромии вспомогательной линейной задачи
(2.4) имеет вид
T(K) = (a(k) (2.7)
\b(k) a(k) J
При e = 1 ее дискретный спектр совпадает с набором Kj, KJt j =
•- I, ..., п, а коэффициентами перехода дискретного спектра являются у,-,
4S, j- 1, ..., п.
Перейдем теперь к доказательству этих утверждений.
1. Однозначная разрешимость задачи Римана.
Здесь проще всего воспользоваться общей теорией Гохбер-га - Крейна, в
которой рассматривается задача Римана
G(K) =G+(K)G-(K) (2.8)
для заданной на всей оси невырожденной матрицы G(K) из кольца Я(пХп),
нормированной на / при j A. j ->-оо (в общем случае матриц пХп). Нужная
нам теорема утверждает, что если матри-
ца 2-~ положительно определена, то задача (2.8) имеет
единственное решение в классе невырожденных в своих областях
аналитичности матриц G+(X) и G^(K) из колец соот-
ветственно, нормированных на I при | А. | ->-оо.
Основным средством исследования является сведение задачи Римана к
уравнению Винера - Хопфа, которое осуществляется следующим образом.
Перепишем соотношение (2.8) в виде
G_(k) = G?(K)G(k). (2.9)
По теореме Винера из невырожденности матрицы G+(K) следует, что для
матрицы GP1^) имеет место представление
00
G? <*) = /+?Q+ (s) eihsds, (2.10)
О
где Q+(s) принадлежит пространству (0, оо); беря от (2.9) преобразование
Фурье, убеждаемся, что задача Римана (2.8) эквивалентна уравнению Винера
- Хопфа
00
Р+ (s) -f- Ф (s) + ^ fi+ (s') Ф (s - s') ds' = 0, S> о, (2.11)
О
где
оо
G(X)=I+ J <b(s)el**ds. (2.12)
" ПО
86 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Уравнение (2.11) и служит основным предметом исследования в теории
Гохберга - Крейна.
Приведенная теорема доказывает однозначную разрешимость задачи (2.1) в
регулярном случае, т. е. когда матрицы G±(x, к) невырожденны в своих
областях аналитичности (что эквивалентно отсутствию дискретных
собственных значений). Действительно, матрица G(x, к) имеет вид
G(x, к) = ( 1 f)v еЬ( )е " ) (2.13>
и при е= 1
\ - Ь (к) е°-х
G (х, к) + G* (х, к) (2
при е = - 1 матрица G (х, к) эрмитова и положительно определена в силу
условия (А,) из § 1.6
|МЯ)|<1. (2.15)
В силу единственности решения задачи Римана (2.1) инволюция (1.24) для
матрицы G(x, к) переносится и на решения G±(x, к):
G± (х, к) = tGTi (х, к) т, (2.16)
где т=о3 при е=1 и т=1 при е = - 1. В частности, при е = - 1
матрицы G+(x, к) и С-(х, к) являются взаимно эрмитово сопря-
женными:
Gl(x,k) = G_(x,k). (2.17)
Рассмотрим теперь задачу Римана с нулями, т. е. общую задачу (2.1) с
заданными наборами чисел kj, kj, 1тЯл>0; js, Чь / = 1, ..., п, и
условиями (1.49). Сразу будем считать, что при этом х<0.
Пусть сначала для простоты мы имеем дело только с одной парой нулей Я",
Я0, 1тЯ0>0, и чисел 70, 70, которым соответствует пара ортогональных
подпространств N(х) (см. (1.47)). Для сокращения записи также временно
опустим зависимость от параметра х. Будем искать решения G±(k) в виде
С+(Я)-ДДЯ)В(Я), С_(Я)=В-'(Я)Д_(Я), (2.18)
где &±(к) -решения регулярной задачи Римана. Подберем матричный множитель
В (Я), исходя из требований:
a) В (к) аналитичен в верхней полуплоскости Я, а В*1 (к) - в нижней-,
b) НшВ(Я) = /; (2.19)
| Я"| ->оо
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИИ СЛУЧАИ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 87
с) detB(^)=7^0 при 1гпЯ^0 и det?"'(Я)фО при 1тЯ=?:0,
кроме точек Я = Я0 и Я0 соответственно, где
Im В (Я0) = G;1 (Я0) Ni?) = N{:\ (2.20)
Кег В 1 (Я0) =G_ (Я0) АД' = ^>. (2.21)
При этом в силу инволюции (2.17) подпространства Ni ) ортогональны.
Перечисленными условиями матрица В (к) определяется однозначно как
матричный множитель Бляшке - Потапова
B(k) = J + fo-jiL р, В-1 (Я) = / + р, (2.22)
Я-л0 Я -
где ортогональный проектор Р определяется из условий
1ш(/ - P) = N?), Кег (/ - P)=N(-] (2.23)
и имеет вид
1 /101* pi р.24)
1 + I 0 Г V 0 1
Здесь
р = г;.'<цу,+гг>(ц _ (2И)
с'Т' Ы v. + ы
где мы использовали очевидные обозначения для матричных элементов матрицы
G+(k0).
Введенный множитель Бляшке - Потапова удовлетворяет обобщенному условию
унитарности
В*(Я)=Я-'(Я). (2.26)
Восстанавливая зависимость от х, получаем, что проектор Р(х) имеет вид
(2.24), где
6 (х) = в+П) (*¦ Яо) То (х) + G|u) (х, k0)
бГ(х,Я0)у.(х) + бГ(х,Я0) ' ^
а То(*) = Чое1*"1. Если при некотором х знаменатель в выражении
Для р(х) исчезает, то формула (2.24) продолжает иметь смысл
и проектор Р превращается в матрицу - (7+ст3).
В общем случае, когда заданы нули-Я*, Я,- и подпространства Nr'1, /= 1,
..., п, задача Римана решается аналогично. Вместо множителя В (к) теперь
следует взять упорядоченное произве-
88 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАПА
дение множителей Бляшке - Потапова
Р,-1 (2.28)
Я-л. )
и подобрать ортогональные проекторы Р, по заданным подпространствам Xj-].
Проще всего это делать последовательно: предположим, что унитарные
множители В,(Х), ..., Bh-,(Я) уже построены. Тогда ортогональный проектор
