Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
4<vi b/ - kk vk>vj K; '-k
& c=min|o3. - д4|. Ситуация общего положения означает, что
все скорости v} различны.
Для доказательства формул (5.42) - (5.44) достаточно показать, что на
траекториях С, отдельного солитона
х - Vjt = const (5.45)
решение гр (дт, i) при ^-v±oo стремится к односолитонному решению ф/^ (х,
t) и экспоненциально убывает во всех других направлениях.
Эти результаты можно извлечь из анализа явной формулы
(5.38). Мы дадим здесь, однако, более простой и изящный способ,
основанный на непосредственном изучении матрицы П(хДД).
Для этого заметим, что при >-±оо все параметры у;(х, t) либо
экспоненциально убывают, либо экспоненциально растут на всех
направлениях, кроме своей траектории С3. Действительно, из (5.41)
следует, что
§ 5. БЫСТРОУБЫВАЮЩИП СЛУЧАЙ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 127
Вдоль траектории С, для соответствующих векторов Z,h(x, i) отсюда
получаем
lim = . lim ¦ = ( * ) , (5.47)
<-"+оо V 1 J t^-~с v* (*> О V о /
если vk<^vh и
Hm ^ Т 4V = (о ) ' lim 0 = (°) , (5-48)
<-"+оо \ 0 / t ? оо V 1 У
если У* >!>,•.
Для определения асимптотики матрицы П(х, Л) вдоль траектории Q удобно, в
отличие от (5.18), использовать упорядоченное произведение
''-Ч
п
П (лг, t, X) = У] В* (лг, Л) В/ (лг, t, X), (5.49)
А-1
в котором множитель Бляшке - Потапова Б,(х, t, X), отвечающий паре нулей
Х}, Х;, расположен крайним справа. В этом случае все множители Bk(x, t,
X) с к-Ф] асимптотически имеют вид
/1 0 \ fX-Xk \
(°Ш -'"тг7")
для асимптотики вектора |*(д:, t), пропорциональной векторам
( ^ ) и (о ) соответственно- Действительно, при последовательном
определении асимптотических множителей Д*±)(Я,), к,ф}, k =
= 1 п, мы получаем диагональные проекторы и, тем самым,
диагональные матрицы В^ (X), которые оставляют инвариантными
подпространства, натянутые на векторы ^ j и ^ ^
Таким образом, получаем, что асимптотически условия
(5.21) сводятся к одному равенству для матрицы S(j±)(X) - асимптотики
множителя В,(х, t, X) вдоль направления С,- при
t-*~ ± оо;
Я(/*)*(^)5Г) = 0, (5.50)
где
Й±,= (^>) - (5-51)
a y/±) даются формулами (5.43), (5.44). Для завершения доказательства
равенства (5.42) осталось заметить, что приведен-
128
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
ные рассуждения также показывают, что вдоль всех направлений, отличных от
траекторий Ch /= 1, п, решение ф(х, t) экспоненциально убывает при t->-
±оо.
Доказанное утверждение имеет естественную интерпретацию: решение ф(х, t)
в (5.42) описывает процесс взаимодействия п солитонов, которые при
больших отрицательных и положительных временах являются свободными и
расходятся друг от друга. Поэтому решение ф(х, t) принято называть п-
солитонным.
Полученные формулы также допускают наглядное толкование в терминах общей
теории рассеяния. При этом, в отличие от линейной теории, односолитонному
решению (5.13) сопоставляется частица-солитон, а не волновой пакет.
Солитон характеризуется скоростью v, координатой центра инерции x(t) и
параметрами внутреннего движения А и <р0. При t->-±oo п-солитон-ное
решение ф(х, t) описывает свободное движение п солитонов с параметрами
(vh х{*\ А], Фо/^), которые определяются по формулам (5.43), (5.44) и
(5.12). Удобно перенумеровать солитоны в порядке возрастания их
скоростей, считая, что ... >
-оо. Тогда при s оо их центры инерции разделены
большими интервалами порядка ac\t\, где с = шт|ц} - цл|, и
самый быстрый солитон находится левее всех остальных.
Таким образом, асимптотическое состояние, описываемое п-
солитонным решением при s оо, изображает движение п
пространственно разделенных солитонов, которые с ростом времени
сближаются. При конечных временах картина пространственно разделенных
солитонов теряется, и n-солитонное решение описывает взаимодействие
солитонов. Однако при А-к + оо снова возникают пространственно
разделенные солитоны, и при этом самый быстрый из них находится правее
всех остальных. Таким образом, при конечных временах он провзаимодейство-
вал со всеми оставшимися солитонами. Аналогичное заключение имеет место и
для всех других солитонов. В частности, с ростом времени расстояние между
солитонами увеличивается.
Описанная картина типична для теории рассеяния, в которой мы имеем дело с
асимптотическими состояниями, характеризуемыми в терминах свободных
частиц. В процессе рассеяния меняются лишь характеристики этих частиц и,
в общем случае, их число.
В нашем случае мы имеем дело с процессом рассеяния очень специального
вида. Именно, число частиц, их скорости и половина параметров внутреннего
движения--амплитуды - при рассеянии не меняются. Процесс рассеяния
состоит лишь в изменении параметров центра инерции и фаз внутреннего
движения. Формулы (5.43), (5.44) и (5.12) позволяют дать связь между
этими параметрами асимптотического движения:
*оУ = *0/' + Д*о/, фо? = Ф(о7> + Дфо/, (5.52)
§ 6. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ЗАДАЧА РИМАНА
129
где
Ах я! -
Im А
/ \*=/и
Xj Xk
Х{ - Xk
k=i
Xj - xk
Xj - xk
(5.53)
/-1
Дфо/ = 2 2 argT-;-------Sar6'T
