Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Л' b ' ;
*=i
(mod2jt). (5.54)
Характерно, что приращения координат xoS и фаз ф0;- при рассеянии
представляются аддитивным образом через двухчастичные сдвиги
Ax0i -
In
Ai - A2
Ax A2
Axn
Till
ln
Xi ¦
Ax - As
, (5.55)
Дфоз = 2arg7
Ax - As
Aj A2
Д Ф02 = - 2 arg
Ax - A2 M - A 2
для случая vt>v2, с соответствующей заменой 1^2 для v2^>vl. При этом
сумма берется по всем двухчастичным взаимодействиям данного солитона с
остальными. Это специфическое свойство рассеяния, сводящее "-частичное
рассеяние к двухчастичному, принято называть факторизацией.
Иногда факторизацию рассеяния включают в определение понятия солитона
наряду со свойствами 1)-2). В этом случае принято говврить о солитоне в
узком смысле этого термина. В данной книге мы будем иметь дело только с
солитонами в узком смысле и будем называть их просто солитонами. В
следующей главе мы дадим интерпретацию процесса рассеяния солитонов с
гамильтоновой точки зрения.
В заключение этого параграфа подчеркнем, что ситуация общего положения,
при которой все скорости v3 различны, была существенной для интерпретации
n-солитонного решения с точки зрения теории рассеяния. Однако само
решение, очевидно, не теряет смысл и при совпадении двух или более
скоростей. При этом солитоны с одинаковыми скоростями не расходятся, а
образуют связанное состояние. В частности, двухсолитонное решение при
условии ^, = 02 = 0 представляет собой периодическое по времени решение
уравнения НШ с частотой (1тА,)г- - (1т Я2)2.
Сделанное замечание относится и к ограничениям на исходные параметры А*
для n-солитонного решения. Мы можем в алгебраической формуле (5.38)
считать некоторые из А,- совпадающими и даже выходящими на вещественную
ось, а числа Yj-исчезающими. Полученная при таком вырождении функция ф(х,
t) может исчезнуть или выйти из шварцевского класса (в частности, стать
сингулярной), но тем не менее, в силу алгеб-
130
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
раического характера формулы (5.38), будет удовлетворять уравнению НШ.
Как мы увидим в следующей главе, описанные частные решения не будут
играть существенной роли при гамильтоновой интерпретации модели НШ.
§ 6. Решение обратной задачи для случая
конечной плотности. Метод задачи Римана
Начиная с этого параграфа, мы перейдем к решению обратной задачи для
случая граничных условий конечной плотности. Эта задача состоит в
восстановлении функций ф(х)> ф {х) по коэффициентам перехода ае(Х), ЬР(Х)
и характеристикам дискретного спектра Xh у}. Мы ограничимся случаем,
когда граничные значения функций ф(х), ф(х) при х-.>-±оо принимаются в
смысле Шварца.
Как и в быстроубывающем случае, существуют два подхода к решению обратной
задачи, основанные на матричной задаче Римана и на формализме Гельфанда -
Левитана - Марченко соответственно.
В этом параграфе мы опишем первый подход, основанный на матричной задаче
Римана. Она естественно формулируется на римановой поверхности Г функции
k(X)=yXz- о2 с заданным на ней контуром 52щ, состоящим из точек (X, е),
где е=±1 и X из R",, т. е. X вещественно и удовлетворяет условию |а|^о;
см. § 1.8. Контур разбивает поверхность Г на две части - листы Г±.
Как и в быстроубывающем случае, мы начинаем с формулы связи решений Йоста
(см. (1.8.43)), где X из Кш, а ТР(Х) -приведенная матрица монодромии
Т.{х, Х) = Т+(х, Х)ТР(Х)
(6.1)
Инволюции (1.8.41) - (1.8.42) означают, что для X из
(6.2)
Т± (х, X - 10) = 1°- + к)хз1 Т ± (х, Х '+ Ю) а, 0)
(6.3)
и
ТР(Х - Ю) = а3Тр(Х+Ч0)а3.
(6.4)
По аналогии с § 1 введем матрицы
S+ (х, X) = (ТЧ] (дг, X), Т? (х, X))
(6.5)
§ 6. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ЗАДАЧА РИМАНА
131
S_ (х, X) = (Т? (х, X), Т? (х, X)), (6.6)
которые аналитически продолжаются на листы Г± соответственно (см. § 1.8)
и при X из удовлетворяют соотношению
S"(x, X)=S+(x, X)SP(X), (6.7)
где
-Sp (А.) Ц- f tL, (6-8)
aP (X) \ - bp (X) 1
В теории рассеяния для вспомогательной линейной задачи мат-
1
рица SP(X) играет роль матрицы рассеяния, а функции и
**р VV
Ь (?)
р имеют смысл коэффициентов прохождения и отражения
ар (X) соответственно.
В терминах матриц S±{х, X) асимптотики при |Л|-^-схэ - формулы (1.8.28) -
(1.8.31) принимают вид:
S+ (х, Х)Е1 (х, k (X)) = S (0) (/ + О (JL) ) , (6.9)
где /. из Г+ и Im 7>0,
S+ (х, X) Б'' (х, k (X)) = ^ a2S-! (0) (/ + О (JL) ) , (6.10)
где X из Г+ и Im 7<0, а также
S_ (х, X) Б-' (х, k (*))= e-^S (0) (/ + О (JL) ) , (9.11)
где а из Г_ и Im Л<0,
S_ (х, X) Е-' (х, k {X)) = ^ o^S-i (0) (/ + О (щ]) , (6.12)
где X из Г_ и 1шЛ>0. Напомним, что Е(х, &)=ехр|^-| и мы ввели обозначение
s<e)=(i ,*/.) • <6ЛЗ>
Рассмотрим теперь матрицы
G+ (х, X) = ар (X) G (0) Е (х, k (X)) S? (х, X) (6.14)
и
G-(x, X)=S-(x, X)E~l(x, k(X))G~l(Q), (6.15)
где G(0) =e_ie/2S(0). Они аналитически продолжаются в соответствующие
листы Г±, за возможным исключением точек вет-
132 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
вления Л=±ю (см. ниже), и дают решение матричной задачи Римана
G+(x, к) G-(х, к) = Gp(x, к), (6.16)
где
Gp (х, k) = G (0) Е (х, k (к)) Gp (к) Е~г (х, k (к)) G1 (0) =
