Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 43

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 180 >> Следующая

j p-i0/2-ikx h'
_ gie/wtt* bp (Я)
(6.17)
1 bp (к)
Gp (Л.) = (6.18)
ьР <м 1 /
(сравни с § 1).
Матрицы G± (х, к) невырожденны на листах Г±, за исключением точек = (kj,
±), /= 1, . .., п. Более точно, имеют место формулы
ЫСЛхЛ)=^^'а^) (6Л9)
для к из Г+ и
det G_ (х, к) = -'--к {к а* (к) (6.20)
О)2
для к из Г_, где а*р(к) -аналитическое продолжение функции
ар(к) на лист Г_; функции ар(к) и ар (к) как раз и имеют нули
в точках к=к\±), /=1, ..., п. При этом (см. формулы (1.8.36),
(1.9.22) и (6.14) -(6.15))
1ш G+(x,kf))=Ni,*)(x) (6.21)
и
Кег G_ (х, k{r) = N(r> (х)) (6.22)
где (х) и N1)4 (х) -одномерные подпространства в С2, натянутые
соответственно на векторы
1 I e-iol*iki\
ie/2?ik:X И
-е ' V/ / \ 1
•(}=-уj-коэффициенты перехода дискретного спектра, a ?,=
= 1*У о2-к/, /= 1,..., п.
Таким образом, равенство (6.16) представляет собой задачу Римана с нулями
на поверхности Г. Продолжим перечисление свойств матриц Gp(x, к) и G±(x,
к), участвующих в этой задаче. Начнем с матрицы Gp(x, к) и чисел kj, у,-,
/= 1, ..., п.
§ 6. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ЗАДАЧА РИМАНА 133
1) Матрица Gp(x, к) имеет вид (6.17), где функция bp(k) допускает
интегральное представление
со оо
bp (I) = J j Й1' (х) eikxdx + A. j pw (х) eik*dx, (6.23)
-оо -оо
где к из а Рр1,2)(*)-вещественнозначные шварцевские
функции. (Это представление получается из (1.9.15) в резуль-
тате интегрирования по частям.)
Отсюда, в частности, получаем, что матрица Gp(x, к) имеет асимптотику при
|Л|->-оо
Ср(*Д) = / + о(^) (6.24)
и удовлетворяет инволюции
Gp (х, к - iO) = (Т3СГ1 (0) G^(x, к-\- iO)Q (0) сг3. (6.25)
2) Попарно несовпадающие вещественные числа kj лежат в лакуне -<в<СА,3-
<С<в, а числа - чисто мнимые, /=1, ...
..., п.
Следующие три свойства характеризуют связь функции bp(k) и параметров kj,
(см. § 1.9). Именно, имеют место:
3) условие (0);
4) условие выбора знаков-,
5) соотношение связи
dan
sign г у/ = sign (kj), (6.26)
а А
где функция ар(к) строится по Ьр(к), 0 и числам к{, . . . , кп по формуле
Л " к + к-к-.-к,
МЧ=е* 0 . I ¦ _.С^ х
'texpl-L j Ь0 + 1",МП (l + . (6.27)
j 2лi k (p) V Ц - к) j
Матрицы G±(x, к), помимо сформулированного выше свойства вырождения,
обладают следующими свойствами.
1) Асимптотики при | к | ¦->-оо
С±(хД) = / + 0(^у), (6.28)
где, соответственно, к из Г± и ±1тЛ>0; в случае ±ImX<0
имеем
+ (6.29)
134
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
с_ (х, Х) = ^~ a.fi* (0) (/ + О (JL) ) . (6.30)
2) Свойства инволюции при X из (Rm
G+ (х, X - Ш) = ю cr3G2 (0) + (*,/.+ i0)av (6.31)
1 (/. + k)
G_(х, X -10) = 1 {к + k) аДд*. Ь +i'0)G"2 (9) а3, (6.32)
w
согласованные с асимптотиками (6.28)--(6.30).
3) Асимптотики при |х[ -и X из (Rm
/ е'0 2 0 \
G;1(jf,X)=Q-1(0)?p(X) +0(1), (6.33)
\ Op (Я) ар (Л) /
/ е('0/2 F0 (Я) \
G_(x,X) = Q-1(0)?o(^) p_w +о(1) (6.34)
\ 0 а() (Я) J
при #-"- + ОО и .. ..
(j(tm)L ;pW -"Л
G;1 (*, Я)=?р (Я)1 ар(Л) ар (Я) 1+о(1), (6.35)
/ ап (Я) e'0/,'2 0 \
о_(хД)=ад +o(i) (б.зб)
-6р (Я) е1(r)' 1 /
при а-I-оо. Здесь ?Р(Л) =Ер(х, X) |*=0 и Q(0) = ехр ^2. .
4) Поведение в точках ветвления Х= ±<в.
Формулировка этого свойства зависит от поведения функции
ЬР(Х) при Я=±м. Рассмотрим сначала случай Я = со. Мы имеем две
возможности.
а) Виртуальный уровень
|Ма)|<оо. (6.37)
В этом случае матрицы G_ (х, со) и G+1 (х, со) вырождаются и
при этом
Кег G;1 (х, со) = +1Т', Кег G_ (х, со) = N(~\ (6.38)
где jVffl* и -одномерные подпространства в С2, натянутые
ге \
соответственно на векторы | и | с+е ]> а
-Гс+е 3 /
с+=рр(ы) +iap(<o) (6.39)
(см, формулу (1.9.9)). При этом в силу (1.9.13) с+= - с+.
§ 6. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ЗАДАЧА РИМАНА
135
б) Случай общего положения
МЛ)==А+0(1), Ь+-ф 0, (6.40)
k
в окрестности Л = о. Здесь матрица G-(x, о) невырожденна, а матрица G+(x,
X) в окрестности Л = м представляется в виде
С+(аД)=5±^- + 0(1) (6.41)
k
с некоторой невырожденной матрицей G+ (х) (см. формулы (1,9.11) и (6.19)
-(6,20)).
Случай Х = --со описывается аналогично. Если /. = -со - виртуальный
уровень, то константа с+ вида (6.39) заменяется на
с_ = Ьр(-со)-iap(-со). (6,42)
Приведенная формулировка задачи Римана и свойства матриц Gp(x, X) и G±(x,
X) выглядят сложнее, чем аналогичные свойства для задачи Римана в
быстроубывающем случае. Это связано в первую очередь с характером
непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи и, в особенности, с
тем, что этот спектр имеет лакуну - интервал -м<;А<м.
Перечисленные свойства матриц Gp(x, X) и G±(x, X) были фактически
получены в § 1.8-1.9 при исследовании вспомогательной линейной задачи.
Перейдем теперь к решению обратной задачи. Оно основано на матричной
задаче Римана с нулями:
Gp(x, X) = G+(x, X)G-(x, X), (6.43)
причем матрица Gp(x, X), нули Xjy константы у} и параметр 9, Osj:0<2jx,
играют роль данных задачи Римана, а матрицы G±(x, X) дают ее решение.
Переменная х является параметром в этой задаче.
Именно, будем считать, что данные Gp(x,X), XJt yjuQ удовлетворяют
условиям 1)-5). Решения G±(x, X) ищутся в классах матриц, аналитических
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed