Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ка)| = 1 + 0(|М~") (10.13)
(сравни с § 7). Таким образом, с точностью 0(|Я|~") имеем
lim (pL (к) + kL - 0/2) = - In Ор (Я) erW-. (10.14)
L-*co i
Воспользуемся теперь представлением (4.4)
pL(k) = - kL + y + ^7 + 0(14 ~)> (10.15)
П=1
где
L
In = ^Pn(x)dx (10.16)
-L
(cm. (4.32) -(4.34)).
С помощью асимптотического разложения
k-k(k) = yt *L + 0(\kD, (10.17)
Ь"
где
Р*п_1 = (-1Г1СОг"(Г1/2|, pin == 0. (10.18)
V n
справедливого при X из из (10.14) получаем, что выражения
L.
In - ~L = j (рп(х)-.!?\&х (Ю.19)
в случае граничных условий конечной плотности уже имеют предел /",р при
L-*-оо. Таким образом, мы показали, что добавление слагаемого kL к рь(к)
регуляризует функционалы /"(фь, фО, так что при L-*-оо они имеют конечные
пределы I"iP
оо
In,р= ^ (^Рп(х) - -^-pn'jdx. (10.20)
- 00
Из (10.14) и (9.43) следует, что можно представить как функционалы от
1п(1+|ЬР(Я) |2) и к,, j-1 п. Однако функ-
§ 10. КОНЕЧНАЯ ЦЛОТНОСТЬ. ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА 73
ционалы /" р при нечетных п являются недопустимыми на фазовом
пространстве Жр,е. Действительно, имеем, например,
-=М~ = - ~ГГ + 2*| Ф (*) Г Ф (*)- (Ю-21)
бф (*¦) dx
б/3 D .
так что -не исчезает при |х|->-оо.
6ф (а)
Тем не менее подходящие линейные комбинации функционалов /",р уже будут
допустимыми. Эти комбинации получаются
при разложении рДЯ) по степеням -- вида
k (к)
pL (1) = - kL 4- | + х 2 4 + 0 (1k Г")- (Ю-22)
Г1= 1 ^
Оно следует из (10.15) с использованием (10.17) и асимптотического
разложения
(10.23)
кп "0 kn+-m { л* /
справедливого при Я из Еш. Функционалы /" имеют вид, аналогичный (10.16),
и имеют предел при L-*-оо
оо
Д,р = ПтЛ= [Pn.p(x)dx. (10.24)
L->оо " J
- оо
В силу (10.23) функционалы /пр просто выражаются через /"р: Д,р= S c-
W_//2Up. (10.25)
n=lmm,l> о ' /
В частности, имеем отсюда
/i,p = iVP> /*.Р = Д /з.р = ЯР (10.26)
(см. § 1), так что функционалы /2|Р и /3|Р, в отличие от /1р,
соответствуют наблюдаемым. В гл. III мы приведем простое доказа-
тельство допустимости функционалов /">р при п>1 - покажем, что их
вариационные производные исчезают при |х|->-оо. Его основу составит вывод
явной формулы для вариационных производных функционала рДЯ).
Как и в быстроубывающем случае (см. § 7), локальные интегралы движения
J"jP являются_функционалами только от половины новых переменных {ЬР(Х),
ЬР(К); /= 1, ..., п). Для их определения рассмотрим асимптотическое
разложение функции lnap(^)e_ie/2 при |Я|->-оо, % из
In ар (Ц егш = Ы Ц + О (| k П- (Ю.27)
i=i k
74 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
которое следует из (9.18). Для явного вычисления вещественных
коэффициентов сг,р рассмотрим представление (9.43) и разложим знаменатель
-!-в геометрическую прогрессию (сравни с § 7). Используя формулу (10.23),
получаем, что
с1, Р :
- Г ф, (X) In (1 + I bp (X) I2)dX + i. S Ф/./- O'0.28)
Irrv ! ЛУ_____*____,
2лх .) x /=i
Для функции фг(Я.) имеем представление
Ф,(Л) = -L- 2 Хр(0^(-{р+1)/2) . (10.29)
< ^ (^) \ Я J
Для нечетных 1=2т+\ с помощью элементарной формулы
'а) =(- 1)" /'"-а-1') (Ю.30)
и бинома Ньютона из (10.29) получаем, что
qw (X)=Xk^-1(X). (10.31)
В случае четных 1=2т, используя (10,30) и простую формулу
I, U,)(")=(":*)• <10'32)
представление (10.29) можно преобразовать следующим образом:
т
{Х) = TW s № М + "2)т_р [р ~ т ~ =
Р=о
т т-р
;(^И7')Г7|Я)-
V р Л*2 М,
Р=0 '
Для вычисления коэффициентов <p,fi воспользуемся формулой
X + & - Х~ - kj и \ \
In--------'-=¦ = - Г--fl + ^Цф, (10.34)
X+k-X.-к, ц-V r v
ч
справедливой при -со-<Я,<;со, которая доказывается с помощью замены
переменной из § 9 или непосредственно. Отсюда следует, что <¦>
Фл/ = у- j* ф/ (X) dX, (10.35)
§ 11. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
75
и выполняя интегрирование, получаем
qw,/ = -- kT+1 (10.36)
2т +1
Таким образом, получаем, что для Inар(Я)е_,6/2 справедливо
асимптотическое разложение (10.27), где коэффициенты c,iP даются
формулами (10.28), (10.31), (10.33) и (10.36), (10.37). Несколько первых
коэффициентов имеют вид
1 1п(1 + 1Ьр(Я)Пя k (10 38)
ЬР 2лх J k (ц ^ * ?
In (1 +1 Ьр (X) Р) _о^ у ^ "
2лх J k (к) \ 2 J 2-л Н
Ra /=1
(10.39)
Сз>р=fln {1 +1 ¦bp {X) |2) %k {l) + k3j- {10'40)
ЛХ Ra * /=1
Сравнение формул (10.14), (10.22), (10.24) с (10.27) приводит к
тождествам
оо
Jn.fi = сп,р = ^ Рп.р (*) dx (10.41)
- оо
- тождествам следов для случая конечной плотности. Их интерпретацию в
терминах гамильтоновой механики мы дадим в гл. III.
На этом мы заканчиваем исследование свойств коэффициентов перехода и их
динамики. В следующей главе мы исследуем обратимость отображения от
функций ф(х), ф(х) к коэффициентам перехода и дискретному спектру для
граничных условий быстрого убывания и конечной плотности. Полученные
результаты составят основу для полного решения начальной задачи (1.1) -
(1.2) для модели НШ с указанными граничными условиями.
§ 11. Комментарии и литературные указания
1) Представление нулевой кривизны (2.10) является альтернативным к
представлению Лакса (см. Введение), которое использовалось на первом
