Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
- F = U(x,X)F--^-F. (9.24)
dx v ' 2
Из этих уравнений и соотношения
U*(x, X) =- a2U(x, Х)в2 (9.25)
легко получаем равенства
det (Т{1] (х, X), Т?\х, X)) = -i- det (о3Т(tm) (х, X) Т? (х, X)) (9.26)
и
~ det (Т(1] (х, X), Т? (х, Х))~ det (о3Т{1} (х, X), (х, X)). (9.27)
Учитывая, что при Х=Х} столбцы Т(У (х, X) и Tf (х, X)
пропорциональны и экспоненциально убывают при [x[-"-oo,
получаем
отсюда, что
ОО
det (Tl1* (х, X/), 7f (х, Xf)) = JL у/ J Д (*'> X,) dx' (9.28)
X
И
x
det (T- {x, Xj), ff (x, Xf)) = J- T/ j Д (xr, Xj) dx', (9.29)
-oo
где
Д (x, X) = det (o37'+) (x, X), 7f> (*, a)). (9.30)
66 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Заметим теперь, что
к - k to
так что с помощью инволюции (8.40) выражение ---А(х, X)
А - k
при к из лакуны преобразуется к виду
А (х, к) = det (o2ff (х, к), Т? (х, к)) = -i-1 Т? (х, к-) f, (9.32)
<0 I
где ||-|| обозначает обычную векторную норму в С2. Собирая полученные
формулы, получаем для ар(Х,) окончательное выражение
ОО
аР (М = - j || П5) (*, hj) Г dx, (9.33)
^ -оо
откуда следует, что ар{к}) не исчезает.
Инволюция (8.40) показывает также, что коэффициенты перехода дискретного
спектра Чь участвующие в формуле (9.22), чисто мнимые. Поэтому из (9.33)
следует, что d"(kj) вещественно и его знак совпадает со знаком ijp
signdp(Я,-) = sign ift, j=\,...,n. (9.34)
Покажем теперь, что как и в быстроубывающем случае, коэффициент ар(к)
однозначно определяется по коэффициенту Ьр(к), своим нулям в лакуне kj,
/= 1, ..., п, и параметру 0. Для этого получим аналог дисперсионных
соотношений (6.22), (6.23)'. С этой целью конформно отобразим лист Г+ на
верхнюю полуплоскость ПЛОСКОСТИ 2 при помощи функции
z=z(k)=k-\-k{k), Im2^0. (9.35)
При этом отображении разрезы на Г+ переходят в вещественную ось -оо<;2<оо
и окрестность оо при 1тЯ<0 переходит в окрестность точки 2=0. Обратное
отображение дается формулой
k = k(z) = j-(z + ^, (9.36)
где функция k(z) иногда называется функцией Жуковского. Рассмотрим при
lmz^O функцию
f(2)=ri(4a(2)). (9.37)
Она аналитична в верхней полуплоскости, удовлетворяет при |г[-"-оо
асимптотике
/(2) = 1 + 0(1/|2|) (9.38)
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕХОДА
67
и имеет нули zh где
2/ = 2 (kj) = к/ + i Vco2 - к), [ 2/ [ = (О, / = 1,..., п. (9.39)
Поэтому для нее справедливо дисперсионное соотношение
п ( 1
f(2) = TT ~-^"ехр|~- Г 1п' ^ ^ ds\, (9.40)
/=1 2"*/
Ш J S - 2
-оо
представляющее собой другой вариант записи представления
(6.28).
В силу формулы (9.12) функция f(z) обладает инволюцией /(2)=e-i9/(co2/z).
(9.41)
В частности, при вещественных s имеем
\f(s)[=\f(oS/s)\. (9.42)
Поэтому интегр-ал в (9.40) можно свести к интегралу по полуосям [s[^(o.
Возвращаясь к исходным переменным к и k и используя соотношение
нормировки, получаем для а"(к) искомое представление
(L " x + k(k) - k, - k,
ар (к) = е - Г[ ---------------------zr х
j=1k + k(k)-k.-k.
-Ahl >,Г <"•")
I J
где интегрирование ведется по верхним берегам разрезов на листе Г+, а к
лежит внеКш.
В отличие от быстроубывающего случая, данные Ь"(к), kj и 0 не являются
независимыми, Именно, из асимптотики (9.5) следует, что должно
выполняться соотношение
" ?.,• + ?,• ( 1 С In (1 +1МШ2)
А(- (9'44)
которое получается из (9.43) предельным переходом [Я[-"-оо в
полуплоскости 1шЯ-<0 с учетом равенства Я + ?=0(1/[Я[). В дальнейшем
полученное соотношение будем называть условием (0).
Этим не исчерпываются ограничения на данные Ьр(к), к}- и 0. В ситуации
общего положения коэффициент Ьр(к) сингулярен в окрестности Я = ±со:
М*)и^=х + 0(1)' (9-45)
68 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
где Ь± вещественны. В то же время коэффициент ар(Х) удовлетворяет условию
(9.8), где
a±=dbib±. (9.46)
Так как в представлении (9.43) участвует только |ЬР(Я) [, то последнее
условие накладывает ограничения на Ь±, которые имеют вид
sign b±= (-1)к±, (9.47)
где N± - некоторые целые числа (см. (9.58)).
Для вывода и вычисления N± рассмотрим интеграл в (9.43)
при X в окрестности ±со вне R ш. Очевидно, что при X в окрестно-
сти со сингулярный вклад дает лишь интеграл
/w_T-<'+iv.">iwy (9.48)
J & (U) (pi - X) **' V 1
со
где 6>0. Из (9.45) следует, что
I(X) = 2ш'1п |ft+|+/e(X) + 0(|A(X)|), (9.49)
где
fa)ch б
I0(X) = -2k(X) Г lakM dp. (9.50)
J *¦)
СО
С помощью замены переменной
= \ (* + Т")' 7~) ^9'51^
последний интеграл приводится к виду
10(Х) = - 2 Г L^L*lflWLL dx + Г 1п 1 k (>l (х)) 1 dx, (9.52)
X - Z J X
,-а
СО*-'и СО*
где z=z(k) (см. (9.35)). Теперь воспользуемся формулой
со*(r)
j ]nk(^x))_dx =_\_Xn2k + ni ln k (Я) + ф ф'
to
где ф (z) регулярна в окрестности z= со, a In k в правой части означает
ветвь логарифма с разрезом по положительной полуоси 0^.k<ioo. Для
доказательства (9.53) следует рассмотреть ин-
(* In2 ft (fi (?)) J, - V
теграл j -- ас, и воспользоваться теоремой Ко-
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕХОДА
ши. Из (9.53) следует, что
1U
I.
1П (- k (tl (А))) ^ = _1_ jn2 k _ п. jn k +
х - г 2
1 f In I k (u (x)) I
