Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 26

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 180 >> Следующая

матриц Т±(х, X) аналитичны в разных полуплоскостях. Действительно, как мы
знаем из § 1.5, матрицы Т±(х, X) имеют структуру
Т± (х, X) = (ТУ (х, X), Г± (х, X)), (1.4)
где столбцы ТУ (х, X) и Т(У (х, X) аналитически продолжаются в верхнюю
полуплоскость, а столбцы 7'+l) (х, X) и ТУ (х, X) - в нижнюю
полуплоскость переменной X. Однако соотношение
(1.3) легко преобразуется к виду (1.1). Для этого введем матрицы
5+ (х, X) = (ТУ (х, X), ТУ (х, X)) (1.5)
и
5_ (х, X) = (Т'У (х, X), ТУ (х, X)), (1.6)
которые являются решениями линейной задачи (1.2) и аналитически
продолжаются, в верхнюю и нижнюю полуплоскости соответственно. При | X |
->-оо в соответствующих полуплоскостях они имеют асимптотики
S±(x, Х)Е~>(х, X)=I + o( 1), (1.7)
вытекающие из формул (1.5.26) - (1.5.29).
С помощью связи (1.3) матрицы S±(x, X) записываются следующим образом:
5+ (х, X) = Т+ (х, Х)М++ (X) = Г_(х, Х)М_+ (X) (1.8)
и
S-(x, Х)=Т+(х, Х)М+-(Х)=Т_(х, Х)М"(Х), (1.9)
где матрицы Л1±|±(?Д даются формулами
"•*"-(:?! У М-(Н1, ~.Т
(1.10)
M+_(X) = (i м__(Я) = /Г а(Х) ,
\0 а (к) j \-Ь(Х) \)
§ I. БЫСТРОУБЫВАЮЩИИ СЛУЧАИ. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ 79
а е = sign и. Здесь а(Х) и Ь(Х) -коэффициенты перехода, участвующие в
матрице Т(Х) (см. представление (1.5.45)). Совместность формул (1.8) и
(1.9) с (1.3) означает, что имеют место факторизации приведенной матрицы
монодромии
Т (X) = М+_ (X) М2 (X) = М++ (X) М2 (X). (1.11)
Специальный треугольный вид матриц Л4±|±(А) позволяет их однозначно
восстановить по заданной унимодулярной матрице Т(Х) вида (1.5.45).
В терминах матриц S±(x, X) соотношение (1.3) принимает вид
S-(x,X)=S+(x,X)S(X), (1.12)
где
/ _1_ eg (Я.) \
5 (X) (X) м+ (X) = Mz\ (X) м _ (X) = "(Х) "w 1. (1.13)
\1 I
\ а (X) а (X) /
Для вспомогательной линейной задачи матрица S(X) играет
роль матрицы рассеяния. Коэффициенты -S- и 22L в теории
а (X) а (X)
рассеяния принято называть коэффициентами прохождения и отражения
соответственно. В отличие от матрицы Т(Х), матрица рассеяния не
унимодулярна:
detS(A)=^-. (1.14)
а(Х)
Она удовлетворяет инволюциям
oS(X)o=S-l(X) (1.15)
и
oS*(X)o = S-l(X), (1.16)
где а=о, при 8 = 1, о=о2 при е = - 1 (см. § 1.2), о=/ при е = 1, о=о3 при
е = - 1, а * означает эрмитово сопряжение. Формулу
(1.16) можно интерпретировать как о-унитарность матрицы рассеяния
S(X). Соотношения (1.15) и (1.16) однозначно определяют ее вид.
Соотношение (1.12) уже почти имеет вид (1.1), и казалось бы, достаточно
положить G+(x, X)=S~*(x, А,) и G-(x, Х) = = S_(x, X). Однако в силу (1.8)
имеем
det5+(x, X) =а(Х) (1.17)
и при наличии нулей у функции а (X) матрица 57*(x, X) имеет сингулярности
в верхней полуплоскости. Поэтому введем
80
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
матрицы
G-(X, X)=S-(x, Х)Е~'(х, X) (1.18)
и
G+(x,X) = a(X)E (x,X)S;1 (х, X), (1.19)
где мы одновременно сократили матрицы 5±(л:, X) на их асимптотики при | X
| ->-оо.
Матрицы G±(x, X) дают решение задачи Римана
G+(x, k)G-(x, X)--=G(x, X), (1.20)
где
G(x,X)=E(x,X)G(X)E'1(x,X)=l 1 eb(k)e~1-* \(12l)
b (},) et>-x 1 J
c<'-)=(_:w т). o-22)
со стандартной нормировкой при |?ь|->-оо
G±(x,X)=I+o( 1), G(x, X) = /+o(l). (1.23)
Переменная л: входит в задачу Римана как параметр, участву-
ющий только в явном виде G(x,X).
Перечислим свойства матриц G(x, X) и G±(x, X), которые соответствуют
вспомогательной линейной задаче для функций ф(л:), ф(дг) из L,(-оо, оо).
В случае х<0 мы также будем предполагать выполненным условие (А) из § 1.6
о структуре нулей коэффициента а(Х). Начнем с матрицы G(X) и связанной с
ней матрицы G(x,X).
1) Свойство инволюции
хG'(x, X)x~G(x, X), (1.24)
где Т = 03 при 8 = 1 И Т=/ при 6 = - 1.
2) Свойство невырожденности
det G (х, ?") - det G (А) = 14- е 16 (А) [2, (1.25)
так что в силу условия (А) при всех X
det G(x, Х)> 0. (1.26)
3) Интегральные представления.
Из формулы (1.6.16) следует, что G(X) допускает представление
> 00
G(X) = I + j <?(s)e'4is, (1.27)
- 00
где матрица <D(s) имеет специальный вид
(r)<5)=Цм 'V'K (1'28>
. § I. БЫСТРОУБЫВАЮЩИИ СЛУЧАИ. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ 81!
а функция p(s) выглядит следующим образом:
оо
P(s)=*-L Г b(X)<r^dl (1.29)*
2л J
- ОО
и принадлежит пространству L,(-оо, оо). Матрица G(x, X) представляется в
аналогичном виде, где вместо <D(s) участвует матрица Ф (л:, s)
ф \x,s) = ( ° ep(-s-jf)j (1 30),
V-Р (*-JT) о )
Другими словами, матрицы G (X) и G (х, X) являются элемен-
тами специального вида нормированного кольца 8?(2Х2), состоящего из
матриц вида
оо
F (X) = с/ + j Q is) eih5ds, (1.31)*
-оо
где Q(s) принадлежит Lfx'2)(-оо, оо), с - из С1, а норма вводится обычным
образом:
оо
1^'1==1С1+ ^ ll^(s)Hs (1.32)>
-оо
(сравни с § 1.6). Для дальнейшего также введем подкольца. ^(аха) кольца
8?<2Х2), состоящие из всех матриц вида
оо
F± (;\) = С±1 + 5 Q± (s) e±i}*ds (1.33)>
0
соответственно, где матрицы П±(з) принадлежат М2Х2> (0, оо).. Элементы
колец 8?(2Х2) и gj(2X2) являются аналитическими матрицами-функциями в
верхней и нижней полуплоскостях переменной X соответственно и при |>.|->-
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed