Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
этапе развития метода обратной задачи. В отработке представления нулевой
кривизны важную роль сыграли работы [1.4], [1.5], [1.10], [1.12]. В нашем
76
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОП КРИВИЗНЫ
тексте мы отдаем предпочтение этому представлению, поскольку оно имеет
чет-, кин геометрический смысл, акцентированный в работе [1.6].
2) Уравнение НШ с различными граничными условиями моделирует широкий
класс нелинейных явлений в физике. Мы уже упоминали его приложение в
нелинейной оптике; оно также встречается в физике плазмы. Здесь же мы
отметим его роль как уравнения Хартрн - Фока для квантовой системы многих
частиц (бозе-газа) с парным взаимодействием, задаваемым при помощи
потенциала 2x6(х-у). Знак константы связи х отвечает притяжению (х<0) и
отталкиванию (х>0) частиц. В случае притяжения физический смысл имеет
задача о конечном числе частиц и их связанных состояний. В классическом
пределе это моделируется быстроубывающими граничными условиями. В случае
отталкивания интерес представляет задача, соответствующая газу частиц с
конечной плотностью. Граничные условия, которые мы назвали уело-' виями
конечной плотности, моделируют эту ситуацию.
Первое погружение модели НШ в рамки метода обратной задачи дано в работах
[1.2], [ 1.3].
3) Интегральные представления (3.32) и (3.33) для матрицы перехода
представляют собой вариант формул М. Г. Крейна [1.7]. Более традиционными
являются треугольные представления (5.10) и (5.16) для решений Иоста. На
примере задачи на собственные значения для одномерного оператора
Шредингера
-~^ + и(х)у = Ху (11-1)
с потенциалом и(х), удовлетворяющим условию
ОО
5 (! + М) I " Ml dx < ос, (11.2)
"00
они были введены Б. Я. Левиным [1.8] и широко использовались В. А.
Марченко (см. итоговую монографию [1.9]). Наш вывод этих представлений в
§ 5 отличается от традиционного, которому мы следуем в § 8 для случая
конечной плотности.
4) Рассуждения в § 5-6 представляют собой вариант квантовой теории
рассеяния для оператора 9 (см. (5.24)), имеющего квантовомеханический
смысл оператора Дирака с нулевой массой. В контексте метода обратной
задачи этот оператор иногда называют оператором Захарова - Шабата.
5) Оператор 9 в случае граничных условий конечной плотности фактически
совпадает с оператором Дирака с ненулевой массой. Теория рассеяния для
него более близка к теории рассеяния для одномерного оператора Шредингера
(11.1), поскольку в обоих случаях непрерывный спектр имеет край.
Минимальные условия на функции ф(х), ф(х), при которых проходит общий
формализм теории рассеяния, более жесткие, чем в быстроубывающем
случае.
Так, абсолютно интегрируемыми в окрестности ±оо должны быть не
просто
убывающие части функции ф(х) :ф(х)-ре*ф±, но и их первые моменты (сравни
с (11.2)) [1.131. Обратная задача изучалась в работах [1.1] и [1.11]; при
этом в работе [1.11] было пропущено условие (6).
Глава II
ЗАДАЧА РИМАНА
В предыдущей главе мы изучили отображение (ф (*), i (х)) ь- (b {X), Ъ
(Х)\ X;, у,-)
от функций ф(*)> Ф(*) к коэффициентам перехода и дискретному спектру
вспомогательной линейной задачи. Как для быстро-убывающих граничных
условий, так и для случая конечной плотности мы убедились, что эта
"замена переменных" сильно упрощает динамику; изменение со временем
коэффициентоё перехода непрерывного и дискретного спектра становится
линейным.
В этой главе мы изучим отображение SF~l. Более точно, мы покажем, в каком
смысле отображение ёГ является обратимым, и дадим решение обратной задачи
- опишем процедуру восстановления функций ф(х), ф(х) по коэффициентам
перехода и дискретному спектру. Основным средством решения обратной
задачи для нас будет служить формализм задачи сопряжения в теории
функций, которая также называется задачей Римана или задачей
аналитической факторизации. Различные варианты этой задачи зависят от
граничных условий, дискретного спектра и т. д. Мы приведем в этой главе
конкретную формулировку задачи Римана для рассматриваемых граничных
условий и дадим ее полное исследование.
§ 1. Быстроубывающий случай. Формулировка
задачи Римана
Задача Римана, отвечающая быстроубывающему случаю, выглядит следующим
образом. Рассмотрим на вещественной оси •-оо<;Л<;оо матрицу-функцию G{X).
Задача состоит в представлении ее в факторизованном виде
G(X)=G+(X)G-(X), (1.1)
где матрицы G+(X) и G..{X) допускают аналитическое продолжение в верхнюю
и нижнюю полуплоскости переменной X соответственно. Разрешимость этой
задачи в широком классе условий на матрицы G(X), G±(X) подробно
исследована в математи-
78 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
ческой литературе. Выясним, как соотношение (1.1) возникает в рамках
вспомогательной линейной задачи
d-L = U(x,X)F (1.2)
dx
и какими свойствами обладают матрицы-функции G(X) и G±(X).
Исходным пунктом является связь матричных решений Йоста Т+(х, X) и Т-(х,
X), в которой участвует приведенная матрица монодромии Т(Х):
Т_(х,Х) = Т+(х,Х)Т(Х). (1.3)
Эта формула еще не является примером соотношения (1.1), так как столбцы
