Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
оо превращаются в с±1 в силу леммы Римана -Лебега.
Перейдем теперь к свойствам матриц G±(х, X).
1) Свойство инволюции
xGl (х,Х) т = G_ (х, X), (1.34)*
которое следует из формул (1.5.30) и (1.5.31) и из (1.5), (1.6),
(1.17). В частности, при х<0 имеем
G*+(x,X) = G_(x,\). (1.35).
2) Интегральные представления
оо
G+ (х,Х) = I -\- ^ Ф± (х, s) e±ih5ds, (1.36)"
0
•82 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
которые получаются из формул (1.5.10), (1.5.16) и (1.6.10) после
тривиальных преобразований. При этом матрицы-функции ¦ФАх, S) принадлежат
L[2Х2> (0, оо), так что G±(x, X) принадлежат кольцам Я±Х2>.
3) Формула связи
f/0(x) = y 1<7о. Ф±{х, s)]|s==a, (1 -37)
.где
U0 (х) = U(x,k)-^r°a=f*( ° \(дг)) (1 -38)
2i \ ф (-*¦) О У
(см. § 1.2), которая немедленно вытекает из (1.5.32) и (1.5.33).
4) Асимптотики при |лг|->-оо и вещественных X
0 х
Ь(Х) п.х _1_| + о(1), (1.39)
а (X) 6 а (X) J
G_ {X, X) = (1 86 ^ + О (1), (1.40)
VO а (X) J
1где х-*-l-оо, и
( -L _еШе-пЛ G?(x,X)= ("W 1 + 0(1), (1.41)
G. (x, X) - ( а{Х) +o(l), (1-42)
.где *->-сю, которые следуют из формул (1.8), (1.9) и (1.18),
(1.19).
5) Свойства вырождения при комплексных X.
Из формул (1.8), (1.9) и (1.18), (1.19) получаем, что •det(л:, Х)=а(Х),
detG_(x, Х)=а'(Х), где а'(X) - аналитическое продолжение функции а(Х) в
нижнюю полуплоскость (см. § 1.6). Отсюда следует, что при х>0 матрицы
G±(x, X) невы-рожденны в своих областях аналитичности. При х<0 и
выполнении условия (А) получаем, _что матрицы G+(x, X) и G_(x, X)
вырождаются при Х = Х,- и X=Xj соответственно, где Xs, /= 1, ... , п,-
нули коэффициента а(Х). Более точно, они имеют простые нули, т. е.
матрицы G+(x, X,) и G_(x, Xj) суть матрицы ранга 1. Из сравнения формул
(1.5), (1.19) с (1.6.20) следует, что матрица G+(x, X,-) может быть
представлена в виде
i\jX
G+ (х, Xj) = е'"(_ ' (х}) Tf (х, Xj) • -1 (т2, (1.43)
g;1 (х, х) ¦¦
§ I. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
83'
где
у/(*) = е1'Ху,-, / = 1, п, (1.44)*
и матрица-столбец умножается на матрицу-строку
- iT+ (х, Kj)a2. В силу инволюций (1.35) и (1.5.30) для матрицы G~(x, Xj)
имеем представление
ihjX
G_ (х, Xj) = e~TV (х, Xj) (1, - у j (x)), (1.45)*
где матрица-столбец 7'+) (л:, Xj) умножается на матрицу-строку (1, -
ъ(х)).
Для геометрической интерпретации этих представлений введем одномерное
подпространство N(f (х) в С2, натянутое на век-
(1 \
- Y' и°РТ0Г0НальН0е к "ему подпространство ДРг> (х)г
натянутое на вектор ^ J . Тогда условия (1.43) и (1.45) означают, что
(х) = lm G+ (X, Xj), N{r (х) = Кег G^ (x,Xj), j=\, п. (1.46)* Зависимость
подпространств N/i> (х) от х имеет вид
"(х) = Е (х, Xj) N(r (х) = Е(х, Xj) N-\ (1.47)*
1 \
\~Уи
где подпространства N}+) и N\) натянуты на векторы(_^
"'7 I соответственно.
1
Перечисленные свойства матриц G(X), G(x, X) и G±(x, X) следуют из
исследования вспомогательной линейной задачи
(1.2) для функций ф(х), ф(л:) из пространства L, (-оо, оо), проведенного
в гл. I. Теперь мы положим их в основу формулировки задачи Римана-задачи
о восстановлении матриц G±(x, X) (а вместе с ними и функций ф(л:), ф(х);
см. (1.37)) по заданной матрице G(X).
Точнее, пусть заданы:
1) Матрица G(X) из кольца 9Т2*2), удовлетворяющая условиям 1)-3).
2) В случае и<0 набор несовпадающих чисел Xj, Xj, 1гп?ь3>0,. /=1, ..., п,
и набор ненулевых чисел jj, /= 1, ..., п.
Построим по ним матрицу G (х, X) по формуле (1.21) и при набор
подпространств N<f±)(x) по формулам (1.47).
•?4 гл. П. ЗАДАЧА РИМАНА
Задача Римана состоит в определении при каждом х матриц •G^(x,X) из колец
5R±X2> с с±= 1, удовлетворяющих уравнению G(x, X) = G+(x, X)G-(x, X).
(1.48)
При и>0 матрицы G±(x, X) предполагаются невырожденными в своих областях
аналитичности. При х<0 они предполагаются невырожденными всюду, кроме
точек X, и Xj соответственно, где
Im G+ (х, Xj) = Af > (a-), Ker G_ (jc, X,) = N'r] (x), j = 1, ..., п.
(1.49)
В следующем параграфе мы докажем однозначную разрешимость этой задачи и
исследуем свойства решений G±(x, X). При этом мы покажем, что матрицы
G±(x, X) обладают свойствами
1)-5), так что в рассматриваемом нами классе эти свойства твляются
характеристическими.
§ 2. Быстроубывающий случай. Исследование задачи Римана
Рассмотрим задачу Римана
G(x, X) =G+(x, X)G-(x, X), (2.1)
•сформулированную в конце предыдущего параграфа. Здесь мы •исследуем ее в
указанных классах для заданной матрицы G (х, X) и искомых матриц G±(x,
X). Мы докажем следующие утверждения.
1. Задача Римана (2.1) однозначно разрешима.
2. Матрицы
F+ (х, X) = G? (х, X) Е(х,Х) (2.2)'
и
F-(x, X) = G-(x, Х)Е(х, X) (2.3)
удовлетворяют дифференциальному уравнению вспомогательной ..линейной
задачи
F± (х, Х)=-.(±о3 + и0 (х)) F± (х, X). (2.4)
dx V 2i j
.При этом матрица U0 (х) имеет вид
им~НмЛх))' <2-5)
где функции f(x), ф(л:) принадлежат пространству L,(-оо, оо).
3. При [л:[-*-оо и вещественных X матрицы G±(x, X) имеют ¦асимптотики
(1.39) - (1.42), где Ь(Х) участвует в определении <(1.22) матрицы G(X), а
