Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
16 § 1.3. Квазиизотропное приближение при слабой анизотропии
В анизотропной среде коэффициенты диффузии необыкновенной волны (см. (1.16)) различны вдоль осей Xs и ys (в главной оптической плоскости и перпендикулярной ей) и меняются в зависимости от направления распространения волны относительно оптических осей кристалла. Вместе с тем в оптических экспериментах используют кристаллы, угол анизотропии которых мал, ? ~ ix1!2. При этом условии можно пренебречь анизотропией поперечной диффузии комплексной амплитуды. Полагая в (1,16) диэлектрическую проницаемость є скалярной величиной, приходим к параболическому уравнению
ЪАе _ Э2Ae д2A1
bzs Ьх2 Ъу\
2ike ^= rrf+ ~ , (1.24)
описывающему дифракцию необыкновенной волны в квазиизотропном приближении. Сравнение (1.17) и (1.24) показывает, что дифракция необыкновенной волны в слабоанизотропной среде проходит па тем же законам, что и дифракция обыкновенной волны. Однако из-за несовпадения лучевых координат обыкновенной и необыкновенной волн наблюдается различие между поведением их фазовых фронтов.
При использовании квазии зо тройного приближения (1.24) эллипсоид (1.22) аппроксимируется параболоидом типа (1.21). Хотя эти поверхности имеют только первый порядок касания, отличие их при q < к в слабоанизотропной среде незначительно.
Краевые задачи. Наклонное н нормальное распространения волн. В общем случае дифрагирующая волна распространяется под некоторым углом ? к нормали п к плоской грани кристалла. Расчет дифракционного поля наклонной волны сводится в квазиоптическом приближении к решению параболического уравнения (см. (1.17)-(1.24) )
ЬА 1 fb2A B2A \
- = -( --г + -г ) О -25)
dzs Iik \ ЬXs by2 / с граничным условием
A{zs = tg ?) = E(хJcos ?, ys) .
Решение поставленной задачи в системе координат х, у, z, связанной с кристаллом (г Il я, х || Jfj), имеет следующий вид:
Ifroos? - *+z,ct80 А =—-- J^J
ехр
2z — [z + (x-t)4?]1/2
ikcos?g-x^ztg?)2 _ Ikjy-Q2 1 2[z+(ж-Otgfl 2z I '
(1.26)
Интегрирование (1.26) затруднительно даже при простых начальных распределениях амплитуды: дифракция на щели [29], гауссов пучок. Вместе с тем в типичных задачах нелинейной оптики интерес представляют пучки,
2, АЛ. Сухорукое 17 распространяющиеся под малыми углами к нормали. Использование этого обстоятельства позволяет существенно упростить краевую задачу, сведя ее к задаче Коши.
На расстояниях z > а tg? (а — ширина пучка) решение (1.26) можно записать для малых углов следующим образом:
А = ~~~ Sf <«дасг,8ехр
2 Z — «>
2z
(1.27)
Чем меньше угол наклона пучка, тем скорее (1.26) переходит в (1.27). Более того, для широких пучков (а > X) решением (1.27) можно пользоваться практически при любых z (так как а tg ? я2/Л ). Решение (1.27) удовлетворяет параболическому уравнению
ЬА ЬА 1 /Ь 2A д 2A \
— + ?- = -( —- + —- ) (1.28)
dz Ьх 2ik \ Ьх2 Ьу /
и граничному условию
A(Z = O) = Е(х, у). (1.29)
Таким образом, расчет дифракции волн, распространяющихся почти вдоль нормали к границе среды, можно проводить, решая задачу Коши для уравнения (1.28). Диффузия амп0і*УДЬІ происходит теперь не поперек лучей, а вдоль плоскостей, параллельных входной грани кристалла.
В нелинейной оптике встречаются также задачи с объемными излучателями, роль которых играют волны поляризации, возбуждаемые в среде на комбинационных частотах (гл. 12), Такая ситуация возникает, например, при расчете гармоник заданного поля основного излучения (гл. 11). Решение неоднородного параболического уравнения, учитывающего действие объемного источника Q,
ЬА ЬА 1 / Ь2А Ь А — + ? - =-( —— + -
bz Ьх 2ik \ Ьх Ъу3
+ ? T1T = ттг ( -Hl + T-J-) + z) 0-30)
с граничным условием (1.29) дается формулой А =_// dfd^ff, 9G(*, I У, t z) +
+ Jdr SS dSd%Q(?XT)G{x.i.y.l2-T). (1.31)
О -W
Здесь введена функция Грина
іЩ-x+?z)2 +іЩ-у?
ik
G =- ехр
2z
2z
(1.32)
При нормальном падении световой волны на переднюю грань кристалла для обыкновенно поляризованной составляющей (к || h || z) угол наклона луча ? = 0, а для необыкновенно поляризованной составляющей угол наклона равен углу двулучепреломления.
18 § 1.4. Распространение волновых пакетов в диспергирующих средах
Распространение протяженных волновых пакетов в среде с временной дисперсией (1.2) можно рассмотреть по той же схеме, что и поведение волновых пучков (§ 1.2,1.3).
В первом приближении теории дисперсии огибающие пакетов сохраняют свою форму:
Л = A(v), V = t-z/щ (1.33)
где и -(bkfbbSy1 — групповая скорость. Уравнение геометрической оптики, которому подчиняется амплитуда (1.33), имеет простой вид
ЪА 1 ЪА
(1.34)
dz
dt
= 0.
Во втором приближении теории дисперсии огибающая волнового пакета меняется по мере его распространения по закону
А = eA(ti>'27t,tizs). (1.35)
Медленные изменения амплитуды описываются с точностью до членов порядка fi параболическим уравнением [52]
ЬА і Ъ2к Э2A ^
(1.36)
bzt
2 9 со Э17
Диффузия амплитуды волнового пакета происходит вдоль оси времени относительно его "центра тяжести", движущегося с групповой скоростью. Коэффициент диффузии зависит от дисперсии групповой скорости: д2kfdCd2 = Ъи^/Ъъз. Решение уравнения (1.36) с граничным условием A(z =0) = E(t) легко находится с помощью соответствующей функции Грина (ср. с решением пространственной задачи (1.30)).
