Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Диффузионное приближение. Параметрическому усилению, сопровождающемуся экспоненциальным ростом обеих амплитуд, отвечают большие значения аргумента (2.8), G > 1. В этой области функции Бесселя имеют асимптотику [3]
ехр(Г0г - 2Г0?2/г) /о *Z1 - (2TTG)"1 exp G - ;;; 0W . (2.10)
(Inr0Zy'*
Если, кроме того, исследовать процесс усиления в сугубо нестационарной обларти при Z > т/| V12 !, пределы интегрирования в (2.7) можно распространить до бесконечности. Учитывая эти особенности параметрического усиления волновых пакетов, из (2.7) находим приближенное выражение для амплитуды:
А і =^iexp(TV),
^OO-Y-) ' E2 0)1 ехр
\ 72 / J 4D12Z
(2.11)
где
D12=V21218Г0 (2.12)
- коэффициент параметрической диффузии. Парциальная амплитуда в (2.11) является решением параболического уравнения типа диффузионного [1, 4, 5 ]: .
дВг Z2Bi
= D12-^. , (2.13)
В, = ~(-nD,2zYl I2 Jdy
4 -OO
(У - %v)2
dz ^rjcp
С помощью полученных точных выражений (2.7) и приближенных (2.11) можно исследовать поведение волновых пакетов, имеющих разные групповые скорости (^12 ^O) при параметрическом усилении в однородном поле волны накачки. Однако, прежде чем переходить к такому рассмотрению, целесообразно выявить характер изменения дисперсии слабых волн. Этому вопросу посвящен следующий параграф.
§ 2.2. Закон дисперсии волн в параметрическом усилителе
Дисперсия волн связана с зависимостью волнового числа к (со) от частоты. В общем случае волновое число имеет действительную и мнимую части: к = к' + і к". Действительная часть к' описывает изменение фазовой скорости с частотой; через нее выражаются групповая скорость и коэффициенты дисперсионного расплывания. Мнимая часть к" характеризует контур
32 линии поглощения или усиления. Для того чтобы найти дисперсию сигнальной и холостой волн в параметрическом усилителе, представим амплитуды через спектральные компоненты (/= 1,2):
Aj = J dSljSjicoj + Цг)ехр[/(Г2/77ср ± Гг)].
(2.14)
В силу выполнения условия резонанса, со3 = Co1 + ^1 + со2 + Sl2, частоты спектральных компонент волн связаны соотношением 125 = -Sl2. После подстановки (2.14) в (2.4) или (2.5) находим зависимость инкремента параметрического усилителя от частотной отстройки (рис. 2-ій):
Г = (Г2 -V12^21M)1/2. (2.15)
Из выражения (2.14) с учетом (2.2) можно найти поправки к волновым числам (рис. 2.1 б):
kj = к, (со/) + qh q} = П//мср. (2.16)
Из (2.15) следует, что усиление в диспергирующей среде происходит в конечной полосе частот
Пс=2Г0/|і»іа'|. (2.17)
Ширина синхронизма неограниченно возрастает (в первом приближении теории дисперсии) при согласовании групповых скоростей (иі = и2). Так как при этом dki/dcji = dfc2/9co2, то такой синхронизм называют касательным или некритическим. Исследуемый нами случай V12 ФО относится к критическому синхронизму.
Выражение (2.16) показывает, что относительная дисперсия сигнальной и холостой волн в линейной среде (W1 Фи2) переходит в параметрическом усилителе в усредненную дисперсию: обе волны приобретают
Г Го
гл
-Sin О Sii.
Рис. 2.1. Дисперсия параметрически связанных волн:
а — контур усиления; б — поправка к волновому числу к; штриховые линии 2 и 2 — дисперсия первого порядка в линейной среде на частотах CJ1 и Co1 соответст-
I. А.П. Сухоруков
33 одинаковую дисперсию. Наклон дисперсионных кривых (2.16) определяет групповую скорость слабых волн мср (см. (2.3)).
Вне полосы усиления, Ifi1Oftc, величина Г в (2.15) становится
мнимой, Г = iQ, причем Q = (v\2U,\/4 — Го)1/2. В этой области сигнал не усиливается, а слабые волны имеют две ветви дисперсии [5—7 ]:
*/**,(«/)+ <!,±0- (2.18)
При больших отстройках от синхронизма (I O1I > ftc) одна ветвь переходит в ветвь линейной дисперсии волны с частотой CJ1, другая — с частотой Cj2 (рис. 2.16).
В полосе усиления экспоненциальный рост спектральных компонент с пройденным расстоянием зависит от их частоты, вернее от отклонения их частот от центральных, для которых, как было принято нами в начале главы, выполнено условие синхронизма Ak - 0. Наличие относительной дисперсии слабых волн (M1 Фи2) приводит при отходе от центральных частот к появлению волновой расстройки Akn = P12 ^1 и, как следствие этого, к уменьшению инкремента Г. В результате неоднородного усиления частотные спектры сигнальной и холостой волн сужаются по закону
Дсо;~12с(2/ВД1/2. (2.19)
Монохроматизации волн соответствует расплывание амплитудных профилей волновых пакетов, которое носит, как было показано в конце предыдущего параграфа, диффузионный характер. В отсутствие фазовой модуляции длительность импульса пропорциональна ширине спектра, г ~ ~1/Дсо, и можно предположить, что увеличение длительности при диффузии импульса идет как т(z) ^ (T0zj2^c)112 = (AD12Z)1I2. Эта оценка согласуется с результатами строгих расчетов, представленных в следующем параграфе.
§ 2.3. Параметрическая диффузия волновых пакетов
В линейной среде при относительной дисперсии первого порядка (v 12 =^fcO) импульсы на сигнальной и холостой частотах расходятся на время Т, пропорциональное пройденному пути: T=\v12\z. При длительности импульса T1 эффект группового запаздывания будет заметен (Т > т і) на расстояниях z, превышающих групповую длину Iri2 = T1 /I v 121-При малых усилениях (Г0г < 1) взаимодействие импульса холостой частоты CO2 с однородной волной накачки cj3 приводит к возбуждению разностной волны частоты Coi.
