Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
С помощью методов теории подобия решение нелинейных волновых уравнений (1.43) представляется в так называемой критериальной форме, т.е. через критерии подобия, или тг-комплексы. Безразмерные 7Г-К0МПЛЄКСЬІ составляются из размерных параметров, характеризующих свойства нелинейной среды и начальные распределения амплитуд. Для их нахождения
24надо привести волновое уравнение к безразмерному виду так, чтобы число независимых тг-комплексов было минимальным. Критерии подобия связаны между собой функциональным соотношением, к которому можно применить я-теорему и ее следствия.
Покажем использование принципов теории подобия трехволновых взаимодействий на двух примерах: нестационарном взаимодействии коротких импульсов при расстройках групповых скоростей и взаимодействии дифрагирующих волновых пучков [45, 46].
Нестационарное взаимодействие волновых пакетов. Выпишем три связанных уравнения для амплитуд в первом приближении теории дисперсии
3Ai ЪАІ bU
(1'5б)
с граничными условиями -**0'
A}(z = 0) = EjOff (t/т). (1.57)
Начальная амплитуда Ejo связана с энергией волны:
wj0 = Ej10T. (1.58)
Введем теперь следующий набор безразмерных величин:
- Пз - Z _ v3f
, -, Vsf = --Г >
T ^T31 I "31 I
Sf = SjZt Ak = AkIr31, (1.59)
тTj = JjIrSiE1 о E2 0^30?2 = У/ 1T31 о K2 о W3OІТ)1 /2 W^. Общая запись нормированных амплитуд имеет вид (р = 1,2,3)
Aj = Efo Af = (Wio It)1 ^2Af (щ ,YrS^Ak1V3piTtp). (1.60)
Они находятся как решение задачи
ЪА, _ ЪА; ъО _ _
-^^-?-*,-^-**. (ш)
Л,(Г= 0)=/,(?).
Из рассмотрения (1.59), (1.60) следует, что два трехволновых взаимодействия (I и II) будут подобны друг другу, если подобны начальные распределения амплитуд, fjt J = ff> J1-, одинаковы соотношения между расстройками групповых скоростей, v3fi! = v3fy J1, совпадают параметры тгу, Ak, Sf и наблюдение ведется в соответствующих точках: (т? з/Оі= (7? з/г)н> (2/^31)1 = (2/^31)11-
Интегрируя профиль интенсивности по времени, находим общее представление для энергии импульсов:
Wf(z) = Wfo _/ Cirh 1ЛдіГзД Spt Ak1J3p, яр) I2. (1.62)
С помощью (1.60), (І.62) можно строить изограммы энергии, пиковых интенсивностей, длительностей импульсов в различных координатах, роль которых выполняют тг-комплексы или их комбинации.
25Отметим, что если одна из волн отсутствует на границе нелинейной среды, например ft = 0, то соответствующую ей нормировочную амплитуду E10 можно выбрать произвольным образом, например Ею = E2Q или Eyо = E30; в ряде случаев целесообразно подобрать Ei0 так, чтобы нелинейный критерий подобия для этой волны был равен единице. Тогда из условия IT1 = 1 находим
^io = Ji^oE30Ir31. Такая нормировка особенно удовй^Гпри расчетах возбуждения волны A1 в приближении двух заданных полей А 2 кА3. Аналогичным образом следует поступать при возбуждении волн A2 и A3.
Критериальная запись амплитуд волн и их энергий позволяет эффективно проводить, например, оптимизацию таких параметров, как длительность импульса накачки г (гл. 4, 5).
Взаимодействие дифрагирующих волн. Теория подобия в нелинейных задачах дифракции волн строится по той же схеме. При коллинеарном взаимодействии пучков (лучевые векторы параллельны осиz,?}- = 0) параболические уравнения (1.43) при переходе к критериям подобия принимают вид
ЬА,- к,- Zb2Ai b2A/ \ Ы7ВЗ --
bz к3\Ьх2 Ьу2 / 1 ЬА* })
М*~= 0)=fj(x, у).
Здесь расстояние z нормировано на дифракционную длину Ra3 = к3а2 j2, поперечные координаты — на начальный радиус пучка а и т.д.:
Z = Z / 4Ra з, X = X fa, у= у fa, Sj = 4 SfRn3, А к = 4 AkRa3, щ = 47,/?дз^і A QE30Er2 = 47jRa3(P10P20P3oy I2(OPj0)-1. Мощность пучка частоты со;- равна (Py0 = Ej0a2)
PfO ff dxdy І Jy(5c, у, Zkp Jk3, 5p, Ak, np) \2(p=l, 2, 3) . (1.65)
-OO
Последнюю формулу можно применить для расчета оптимальной фокусировки пучка накачки, обеспечивающей достижение максимальной перекачки энергии в возбуждаемую волну (максимального КПД преобразователя частоты).
Согласно соотношениям (1.64) дифракция двух пучков в линейной среде (яу = 0) подобна друг другу, если на входе в среду они имеют одинаковый закон распределения амплитуды и фазы, fj = /ц. Тогда если первый пучок с начальной амплитудой S1 и волновым числом к і имеет некоторое дифракционное поле в сечении Z1, то второй пучок с параметрами дп и кц будет иметь такую же картину дифракции в сечении zn = C^rIiffIi/) (рис. 1.4). В нелинейной среде подобие дифракции взаимодействующих пучков наблюдается, если одинаковы все другие тг-комплексы; Ak, 5у, 77у и kj/k3.
Особый интерес представляет тот факт, что в рамках теории подобия можно сделать переход к нелинейной геометрической оптике, устремляя к нулю длину волны X, при этом к Проследим с помощью (1.59)
26Рис. 1.4. Подобие дифракции двух пучков разной апертуры:
на расстоянии zjj = (а ц/а j) 2г| вторая волна имеет ту же картину распределения поля, что и первая при г j
за измерением критериев подобия F и itj (полагаем для простоты bj, Ak ~ 0). Видно, что при переходе к геометрической оптике Z 0, a Ttj Но полагать Y-O нельзя, так как при этом пропадает зависимость амплитуд от координаты z; тг-комплексы, содержащие нелинейность среды, также нельзя устранить из задачи. Здесь на помощь приходит тт-теорема, согласно которой из двух 7г-комплексов можно образовать другой, сохраняющий конечную величину при к 00. Очевидно,