Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
/ 1 Э \ ъи ) = -ітДі + —¦—-J-T^- (1-72)
\ IOJj br)m / ЬА}
Теперь, если вернуться к задаче об изменении несущих частот со/н = сOj + Slj, коэффициенты нелинейной связи согласно (1.72) пересчитываются корректным способом: вместо Jj- ~ OJj ПОЯВИТСЯ коэффициент Jjh ~ OJj + Slj. Дисперсия рассматриваемого типа (1.72) исследовалась при анализе самокомпрессии импульсов в оптических волноводах [49, 50].
Дисперсия коэффициентов нелинейной связи приводит к дополнительному нарушению фазовых соотношений между волнами, а следовательно, и к дополнительной фазовой модуляции волновых пакетов. Это оказывает влияние и на искажение амплитудных профилей, и на энергообмен между волнами при трехчастотных взаимодействиях в диспергирующих средах [51]. В гл. 11 рассмотрен пример о влиянии дисперсии коэффициентов нелинейной связи на генерацию второй гармоники. ГЛАВА 2
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДИФФУЗИЯ СЛАБЫХ ВОЛН ПРИ РАССТРОЙКЕ ГРУППОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Данная глава посвящена анализу параметрического усиления волновых пакетов и пучков в заданном поле плоской монохроматической волны накачки. Теория строится в приближении геометрической оптики с учетом расстройки групповых скоростей сигнальной и холостой волн как по величине, так и по направлению. Из-за дисперсии различные спектральные компоненты усиливаются в неравной степени, что приводит к искажению частотно-углового спектра волн и к модификации огибающих (амплитудных профилей) волновых пучков и импульсов. В параметрическом усилителе относительная дисперсия связанных волн уменьшается. При этом волновые пакеты и импульсы распространяются с одинаковой скоростью, а их расплывание носит диффузионный характер.
Важно отметить также, что при усилении модулированных волн принципиально меняется роль расстройки групповых скоростей и асимметрии коэффициентов поглощения по сравнению со случаем взаимодействия плоских монохроматических волн, прежде всего при определении порога параметрического усиления и инкремента распадной неустойчивости. Рассмотрение пространственно-временных эффектов ведется на основе точных решений укороченных уравнений и с помощью приближенных методов.
§ 2.1. Связанные уравнения для сигнальной и холостой волн
В приближении геометрической о'ітики процесс трехволнового взаимодействия описывается системой квазилинейных уравнений первого порядка для медленно меняющихся амплитуд (1.56). Конкретизируем эти уравнения сначала для нестационарного случая параметрического усиления волновых пакетов в заданном поле монохроштической волны накачки постоянной амплитуды Ab = ?30. Для упрощения изложения положим пока волновую расстройку Ak и коэффициенты поглощения Sy равными нулю. Их роль мы выясним позже в § 2.6.
Уравнения для параметрически связанных волновых пакетов записываются следующим образом:
bAt Э A1 ф дA2 дA2 «
—— +Vii-— =- ІУІЕ30А2) —— +^2?-;—: = - IyiE30At. (2.1)
02 Эг?з QZ дть
30 Этой системе можно придать симметричную форму, если вместо характеристики Tj3 ввести среднюю характеристику для сигнальной и холостой волн
Vcp = (Vi + Tfc)/2 = t - Zfucp, (2.2)
где
Mcp = 2и, U2 Ku1 +U2) (2.3)
- средняя групповая скорость пакетов. Она, очевидно, имеет промежуточное значение между U1 И W2- После введения (2.2) уравнения (2.1) приобретают вид
BA1 V12 BAi . BA2 V12 ^A2 .
+ ——--= - H1F30A2, ——------- = - JTi•
Э2 2 BT1 BZ 2 Эт?
(2.4)
От последней системы легко перейти к одному уравнению, исключая, например, A2:
B2A1 V212 B2A1
Bz2 4 Bv2cp
= T20A1, Г0-(7172)1/2?зо, (2.5)
где Г0 - инкремент стационарного усиления. Граничные условия для сигнальной и холостой волн зададим на входе в нелинейную среду:
Alf2(z = Q) = F1?2(t).
При согласовании групповых скоростей V12 = 0и (2.4), (2.5) переходят в хорошо известные уравнения параметрического усиления плоских монохроматических волн, имеющие простое решение
A1 = F10Ch(P0Z) + (yi Iy2)1 ^2E20 sh(r0z). (2.6)
В диспергирующей среде укороченные уравнения (2.4), (2.5) решаются при переходе к разложению амплитуд в частотный спектр (§ 2.2) или непосредственно методом Римана.
Точное решение связанных уравнений. Гиперболическая система (2.4) имеет точное решение в интегральной форме. Так, амплитуда сигнальной волны выражается следующим образом [1,2]:
z\ 2
A1 = F1(Tll)^y1F30 S d^F2*(г) -V12^r0(G) +
-г/2
+ 7172^30 / d%E1(ncp-v12\)(z -2%)h(G)G~\ (2.7)
-z/2 V
где I0 и I1 — модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента нулевого и первого порядков, аргументом которых служит величина
G = Г0(Z2 -4^)1/2- ' (2.8)
Формула для вычисления амплитуды холостой волны A2 получается из (2.7) с помощью циклической перестановки индексов 1 >2.
На начальном этапе при малом усилении (Г0г < 1) аргумент функций Бесселя мал (G 1), а сами они равны I0 ^ 1,11 Gj2; при этом второй интеграл в (2.7) становится величиной второго порядка малости. В резуль-
3t тате (2.7) принимает простую форму
A1 = Mm) +7І?зо(2-9) о
которая соответствует случаю генерации волны разностной частоты в заданных полях двух волн — накачки и холостой. Так как для параметрического усиления и распадной неустойчивости этот случай не представляет интереса, мы отложим его обсуждение до следующей главы, специально посвященной возбуждению суммарных и разностных волн.
