Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
НУЖНЫМИ КОМбИНацИЯМИ ЯВЛЯЮТСЯ Ynr = J Tt1J2 И ОТНОШеНИЯ Itjllt3 =
= rYjEl0IyiEj0. Таким образом, в приближении геометрической оптики интенсивность на оси первого пучка записывается в виде (р = 1, 2, 3)
Mil - E]o\Al(zHT, TtpIni, кр/кз) I2. (1.66)
Видно, что характерным пространственным масштабом сильного нелинейного взаимодействия становится длина нелинейной рефракции
^иг
2 кга2
і /2
Яз
-J
CsE30 \
4 70(2^10^2 0 /
1/2
(1.67)
характеризующая расстояние, на котором происходит взаимофокусировка пучков в преобразователе частоты (гл. 9).
§ 1.8. Учет дисперсии высших порядков
В § 1.4 рассмотрено второе приближение, согласно которому дисперсионное уравнение к(со) аппроксимируется квадратичной параболой (1.39). В этом приближении поведение волнового пакета описывается параболическим уравнением (1.36) для медленно меняющейся амплитуды. При учете трехволновых взаимодействий в параболических уравнениях появляются нелинейные члены, пропорциональные амплитудам волн поляризации среды на соответствующих частотах (1.43). В этой книге мы ограничимся именно таким приближением. Вместе с тем необходимо сказать несколько слов и о последующих уточнениях теории нестационарных трехволновых взаимодействий. Дальнейшие приближения связаны с учетом линейной дисперсии коэффициентов нелинейной связи волн: Рассмотрим их основные черты отдельно.
Взаимодействие волн в третьем приближении теории дисперсии. По мере сокращения длительности импульса (расширения его частотного спект-
27 pa) параболическое описание реальной дисперсионной кривой к (со) с помощью аппроксимации (1.39) становится недостаточным и надо учитывать следующий член разложения волнового числа по частоте:
дк 1 Э2 к' 1 а3* „
q = — п+--- а2 +---TFT (1.68)
doj 2 дCO2 6 Bw3
Это необходимо, в частности, делать, когда дисперсия второго порядка обращается в нуль, Э2&/Эсо2 =O (несущая частота волнового пакета попадает в точку перегиба дисперсионной кривой). Такая ситуация может наблюдаться в оптических кристаллах в области между резонансами и в оптических волокнах, когда естественная дисперсия материала — стекла компенсируется дисперсией волноводных мод. Разложению (1.68) можно поставить в соответствие дифференциальный оператор, 12 -*¦
-ibjbt, в результате чего укороченные уравнения для медленно меняющихся амплитуд принимают вид (ср. с (1.55))
ЬА,- ЭAf і Ь2кі Э2Ai 1 Э3Ь Ь3А} -- + »im------1--г1---;---=Fi(AuAilA3).
Эz "" Ъцт 2 Эсо) Ъц2т 6 Эс? Эт^ А 1
(1.69)
В третьем приближении теории дисперсии гауссов профиль огибающей волнового пакета перестает быть автомодельным даже в линейной среде. Поэтому анализ распространения взаимодействующих пакетов становится чрезвычайно сложным и требует широкого привлечения численных методов. Пока подобного рода расчеты проделаны для задач самовоздействия коротких оптических импульсов в волоконных световодах [47,48].
Дисперсия коэффициента нелинейной связи волн. При сильной дисперсии нелинейной восприимчивости X2(w)> 410 имеет место вблизи резонансных частот атомов и молекул, для амплитуд волн нелинейной поляризации, как правило, также удается сформулировать укороченные уравнения в двух- или многоуровневом приближении с учетом поляритон-ных или экситонных мод. Однако и вдали от резонансов дисперсия нелинейности может оказаться существенной. Речь идет о следующем не стационарном эффекте.
В исходное волновое уравнение (1.1) входит вторая производная поляризации среды по времени. Волна поляризации, как и электромагнитная волна, имеет быстро изменяющуюся часть и медленную амплитуду:
^(нл) = ^>(нл) [/(coy? - к far)]. (1.70)
При проведении процедуры укорачивания волнового уравнения в слабонелинейной среде обычно учитывается только главная часть члена
Э 2Pj^fbt2, а именно —co2pfHn^ (остальные члены отбрасьюаготся). В результате в укороченные уравнения (1.55) входят нелинейные члены (1.50) с коэффициентами 7. (151), пропорциональными частотам сoj. Мы видим, что коэффициенты нелинейной связи обладают дисперсией.
Рассмотрим теперь в рамках (1.55) эффекты, связанные с изменением частот волновых пакетов на некоторые величины Ajh - Ajexp(iQjt). Переход на новые частоты в диспергирующей среде означает изменение 28 волновых чисел на величину Этот эффект во втором приближении теории дисперсии отражается наличием в уравнениях (1.43) линейных дифференциальных операторов параболического типа. Однако нелинейные члены Fj останутся при таком изменении частот неизменными. Парадокс возник из-за того, что при укорачивании уравнения были учтены только нелинейные члены вида —сJjPjHJI^. Чтобы описать дисперсию коэффициентов нелинейной связи волн Jj(ojj) надо помимо главного члена учесть и следующий:
д2р(нл) / 5D(ra)
ъг
Fi
= (-^/нл) (1.71)
При последовательной процедуре укорачивания уравнений необходимо учесть члены порядка 92Afbzbr}, которые также дают вклад в дисперсию нелинейной связи. В итоге правые части уравнений (1.43) приобретают новую структуру (ср. с (1.50)) :
