Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
7/ = 2 7Г x2wy/c«/ (1-51)
— коэффициент нелинейной СВЯЗИ ВОЛН, X7 = e^WyIg2 •
Большое значение для анализа трехволновых взаимодействий имеют законы сохранения или интегралы движения волновых пакетов и пуч-
+ ¦=о
ков. Для энергий волн Wj =JJf dxdydr\m \Aj\2 в недиссипативной среде выполняются соотношения Мэнли — Poy [1—2]: Wi(Z)-Wl (O) W2 (Z) - W2 (O) - W3 (Z) + Ff3 (0)
CO1
CO2
GO3
(1.52)
и закон сохранения полной энергии волн: X Wj(z) = const. На кванто-
j = і
вом языке (1.52) определяют изменение числа квантов в процессах слияния и распада. В случае взаимодействия не модулированных волн соотношения типа (1.52) справедливы для интенсивностей = | Aj I2.
Законы сохранения энергии не содержат информацию о фазовой модуляции взаимодействующих волн, их дифракции и дисперсии. Эти эффекты учитываются в интеграле движения
+ ~ [ Ak Л = JJJ dxdydrim \-2 [AjA2A3 | cos Ф + -
7з
з
+ S Jf
і = і
1
-і
Iki
13/ IAf I2 bAj 2
by
ЭФ,-Эдг
\
1 b2kj 2 Эсо?
+ Vjm
lAfI2
ЭФу
dVm
I А:
1
2 kj
ЬА,
Ьх
bAj 2 -
dVm
(1.53)
где Ф = Ф3 — Фі — Ф 2 + Akz — обобщенная фаза тре хво л нового взаимодействия, Фj — фаза волны Aj = \Aj I ехр(-г'Ф;). Интеграл движения (1.53) определяет, в частности, условия захвата пучков и импульсов в трехчастотные связанные солитоны (гл. 10). Он вместе с соотношениями Мэнли — Poy (1.52) используется при построении алгоритмов численного решения уравнений (1.43).
22 Метод укороченных уравнений (1,43) широко используется для описания взаимодействия волн в физике плазмы [33—35], в гидродинамике [36-38], в нелинейной акустике [39—41] и других областях волновой физики.
§ 1.6. Пространственно-временная аналогия
При квазиоптическом описании нелинейных волновых эффектов можно в ряде случаев выявить закономерности их протекания без предварительного решения параболических уравнений, используя математическую аналогию краевых задач [42],
Нелинейные взаимодействия квазиплоских монохроматических волн описываются уравнениями типа (1.43) :
ЪА; ЪАІ і Zd2Ai Ъ2 A ,-Y-—'
С другой стороны, уравнения, описывающие нелинейные взаимодействия и самовоздействия медленно модулированных во времени плоских волн на безынерционной нелинейности, имеют вид
ЪА; ЪАі і Э2 к і д2 А;
Уравнение (1.55) математически эквивалентно (1.54) в двумерном случае (д2А/Ъу2 = 0). Этому факту соответствует аналогия в поведении волнового пакета и двумерного волнового пучка. При этом можно сопоставить характерные параметры пространственной и временной задач (рис. 1.3). Движение импульсов по характеристикам Vf- = Vm + VjmZ подобно распространению пучков по лучам х - ?jZ.
Пространственному масштабу медленной модуляции лучевой амплитуды по координате х соответствует временной масштаб по характеристике т?. Например, ширине пучка а — длительность импульса т, угловой компоненте q - спектральная компонента П, угловой расходимости а ^{ка )-1 — ширина частотного спектра импульса Acj ^r"1.
Углу наклона лучевого вектора к нормали ?j соответствует расстройка групповых скоростей Vjm. Здесь сопоставляются эффект пространственного разделения пучков, распространяющихся в среде по разным направлениям, и эффект расхождения волновых пакетов, распространяющихся с различными групповыми скоростями. Сопоставимы и масштабы проявления этих эффектов: апертурной длине /а = а/\ ?j I соответствует длина группового запаздывания lTjm =т/| Vjm \.
Далее, дисперсионное расплывание пакета подобно дифракционному расширению пучка; при этом коэффициент продольной диффузии пакета (-//2)Э2/;/Эсо2 имеет свой аналог — коэффициент поперечной диффузии пучка i{2k. Продольному масштабу дифракционного расширения пучка — дифракционной длине пучка Ra = ка2/2 — соответствует во временной задаче длина дисперсионного расплывания пакета Ia = (г212) (Ъ2к/Ъсо2)"1.
23 Рис. 1.3. Иллюстрация пространственно-временной аналогии между неколлинеарным распространением пучков разных частот (/.= 1, 2, 3) и движением волновых пакетов вдоль характеристик
Эту аналогию можно распространить и на нелинейные процессы. Так, результаты расчетов нелинейных явлений, выполненных для пространствен-но-модулированных волн, применимы дпя анализа взаимодействия импульсов. К указанной аналогии мы будем неоднократно обращаться в дальнейшем, однако следует иметь в виду ее ограниченный характер. Не все математические аналогии временных эффектов могут быть практически реализованы в пространстве при взаимодействии пучков, и наоборот.
§ 1.7. Теория подобия трехволновых взаимодействий
Теория подобия как метод исследования нашла широкое приме некие в современной науке и технике. Наибольшее развитие она получила в задачах механики [43], теплотехники [44] и электроэнергетики [45]. Методы теории подобия позволяют находить определенные классы аналитических решений, проводить анализ и обработку экспериментальных данных и т.д. Они оказываются чрезвычайно полезными при лабораторном и численном моделировании различных физических процессов и явлений.
