Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая отдельную спектральную компоненту волнового пакета
А = ехр [/(Ш - qzs)]> (1.37)
где ?2 - отклонение от несущей частоты, можно найти вид дисперсионной характеристики, отвечающей тому или иному приближению. Геометро-оптическое приближение (1.33) обосновано, когда дисперсию среды можно
MHf
Рис. 1.2. Зависимость волнового вектора от частоты в диспергирующей среде:
штриховая линия — решение волнового уравнения; касательная 1 — первое приближение в теории дисперсии; парабола 2 — второе приближение
2* считать линейной функцией частоты (рис. 1.2, линия 1) :
q = Sl/u. (1.38)
В квазиоптическом приближении (1.36) имеет место параболическая аппроксимация дисперсионных свойств (рис. 1.2, линия 2):
а 1 д2к „
Я--+ » — П2. (1.39)
и 2 осо
Пространственно-модулированные квазимонохроматические волны.
В общем случае световая волна промодулирована как в пространстве, так и во времени. Распространение медленно модулированных волн с амплитудой (M = Ju1 = = ці = д!)
А = eA(iill2xs, JLt1Z2JV д1'2!?, рг) (1.40)
описывается в квазиоптическом приближении параболическим уравнением
ЪА ЪА
— + ? — =
dz Ъх
1 /д2A Э2A \ і Ъ2к д2A
2ік \ Ъх2 + ду2 / 2 .??,' Эг}2 (1'41)
с граничным условием
Л(г = 0) - Е(х, у, 0. (1.42)
Решение этой задачи в общем виде не представляет труда. Однако в зависимости от масштабов пространственной и временной модуляций (а и г соответственно) дифракционные и дисперсионные эффекты имеют различный порядок.
Существенные изменения амплитуды волны вдоль нормали (оси z) за счет дифракции происходят на расстоянии
Rfx = ка2( 2,
а за счет эффекта дисперсионного расплывания — на расстоянии
'д = (т2/2)(а2*/э<о2)-'.
Если длина среды ограничена, 0 < z < /, то при условии I < Rfx можно не учитывать дифракционное расплывание пучка и ответственные за него вторые производные по поперечным координатам в (1.41); при условии Klд можно отбросить в (1.41) вторую производную по сопровождающей координате т?. Если одновременно I < Rfx, /д, то распространение волны описывается уравнением первого порядка (приближение геометрической оптики).
§ 1.5. Трехчастотные взаимодействия волновых пучков и импульсов
Метод параболического уравнения можно обобщить на задачи о взаимодействии квазиплоских, квазимонохроматических волн (1.6) в слабонелинейной среде (1.5). Предполагая медленную зависимость амплитуд взаимодействующих волн в виде (1.40) и подставляя (1.6) в (1.5), можно
20 получить с учетом нелинейных членов первого порядка малости (д0 =H1) систему квазилинейных параболических уравнений ( / = 1, 2, 3)
ЬА, ЬА, ЬА, і / Ь2А, Ъ2Ai
—+ ?, —- + vjm —~ + -( —+--
Эг 1 дх 1 Ьт}т Ikj \ Ьх2
і д2к{ д2А,
L +SfAf = FjiAuA2tA з), (1.43)
2 Ьсо2 Ъг\2т
где Bj - коэффициент линейного затухания, r\m=t - z(um — сопровождающая координата т-й волны, Vjm = uf1 - ит — расстройка обратных величин групповых скоростей,
F, =---J-P^(Uf) (1.44)
С /Су?
и P ^h 3l^(COj) — амплитуды фурье-компонент волн нелинейной поляризации. Конкретизируем вид функций Fj для взаимодействия волн в квад-ратично-нелинейной среде.
Пусть в среде с отличной от нуля квадратичной восприимчивостью (существуют компоненты Xijk ^ 0) распространяются три волны, средние частоты и средние волновые векторы которых удовлетворяют соотношениям синхронизма:
Co3 = со, A3 - кх + к2 + Ak. (1-45)
В этом случая поляризацию среды на суммарной частоте можно найти из (1.3) [1,2]:
P^ic з) = ff dtWesiiV, Sfae2A1V, t-t') X о
X A2(r, t - t' — f") exp (—i'co3f' — ісо2ґ" - iAkr), (1.46)
где X2 — тензор с компонентами Xijk- Нелинейная восприимчивость Xijk обусловлена, как и линейная хц> весьма быстрыми электронными процессами, времена релаксации которых порядка IO-15 с. Однако в отличие от линейной восприимчивости эффекты, связанные с дисперсией Xijk, имеют вдали от резонансов порядок ц2 и поэтому пренебрежимо малы. Таким образом, при исследовании трехчастотных взаимодействий модулированных волн нелинейность среды можно учитывать квазиста-тически,
Р(нл>(со3) = e3X(w3 =W1 +cj2)eie2A1A2e-iAkr, (1.47)
с помощью спектральных компонент Xijk^ взятых для средних частот:
XijkiOJ3=со, + CO2) = И (1.48)
о
В области прозрачности для компонент тензора Xijk установлены соотношения симметрии по отношению к перестановке частот и пространственных индексов [1—3],
Xijki^з = <о, +Wa) = Xjikiul =со3 -со2) = Xkiji^i = ^з -со,),(1.49)
21 связывающие между собой прямые и обратные нелинейные процессы (сложение и вычитание частот), которые протекают одновременно при взаимодействии трех волн. Соотношения (1.49) обеспечивают выполнение закона сохранения энергии трех волн.
Амплитуды волн поляризаций на частотах со і и со2 находятся аналогичным образом. Связь между ними устанавливается с помощью (1.49). В итоге правые части (1.44) укороченных уравнений (1.43) можно представить в виде
Fj = -HjbUjbA(1.50)
где функция U пропорциональна усредненной по времени свободной энергии элемента объема нелинейной среды и
