Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.1. Поперечные сечения поверхностей волновых векторов в однородном кристалле для обыкновенной (в) и необыкновенной (б) волн:
штриховая линия — решение волнового уравнения; касательная 1 — приближение геометрической оптики; парабола 2 — квазиоптическое приближение
Упростим теперь (1.8), считая медленные изменения амплитуды А в первом приближении равноправными по всем направлениям (ді = = = Дз). Учитывая, что при слабой дифракции вектор поляризации волны в основном сохраняет свое положение в пространстве, амплитуду можно представить в виде [1]
А = eA(ur) + ?U(r). (1.11)
14 Подставляя (1.11) в (1.8), получим в первом приближении по д укороченное уравнение для лучевой амплитуды [1]
[e[ke]]VA = 0, (1.12)
которое имеет общее решение
А = Л([ет],[фг]]). (1.13)
В данном приближении амплитуда волны является произвольной функцией координат, перпендикулярных лучу s. Таким образом, уравнение (1.12) соответствует приближению геометрической оптики; при этом все лучи, составляющие пучок, параллельны друг другу.
Метод параболического уравнения в анизотропных кристаллах. Второе приближение в методе медленно меняющихся амплитуд учитывает дифракцию волновых пучков. Впервые этим методом было получено параболическое уравнение для лучевой амплитуды в задаче дифракции радиоволн над земной поверхностью [22—24]. Затем метод параболического уравнения нашел широкое применение для нахождения мод открытого резонатора, описания распространения лазерных пучков [25> 26].
Применим метод параболического уравнения для анализа дифракции волнобых пучков в анизотропных средах. Согласно этому методу амплитуда вдоль направления распространения пучка изменяется более медленно, чем в перпендикулярной плоскости (в поперечном сечении), где происходит переход из области свега в область тени (д = Ді = д? = Д з):
А = eA(ji1/2xs, plt2ys, дга) + дС/(г). (1.14)
Здесь введены лучевые координаты Xs Il е, ys Il А = [s?], zs [I s. Подставляя (1.14) в (1.8), можно прийти к параболическому уравнению [7-9]
ЪА (ks)(eie) д А
2i(ks) - = А --
Э zs (кее) Эхд
(kef
~ к2 - (uj/cfheh J
Ьу!
rS
(1.15)
В одноосном кристалле (1.15) можно преобразовать с помощью известных соотношений кристаллооптики [27, 28] к виду
А ЪА А Ъ2А л Э 2A 2 i{kh) — = (еее) —— + {heh) — . (1.16)
Bzs дхі ду;
Впервые (1.16) было получено в [29] для случая двумерной дифракции и в [30] для трехмерных задач. Вывод (1.16) был выполнен также в [31, 32]. Из анализа процедуры вывода параболических уравнений следует, что малый параметр д в (1.14) равен по порядку величины (ка)~2.
При дифракции обыкновенной волны (к || s) с амплитудой A0 уравнение (1.16), как и следовало ожидать, принимает такую же форму, как в изотропной среде [24],
ЬА0 Ь2А0 Ь2Ао
ш0 TT = 7? + ¦ (1л7)
d Zs д xs oys
Согласно (1.17) дифракционное расплывание электромагнитного поля трактуется как результат поперечной диффузии лучевых амплитуд. При
15 этом в силу мнимости коэффициента диффузии параболическое уравнение описывает искажения не только амплитудного профиля волны, но и ее фазового фронта. Очевидно, уравнения (1.15)-(1.17) можно применить в линейной оптике к расчету резонаторов с анизотропным заполнением.
Поверхности волновых векторов. Характер приближений, сделанных при выводе параболических уравнений (1.15) — (1.17), можно более ясно представить, разлагая поле по плоским волнам. Положим амплитуду обыкновенной волны равной
A0 = exp(-igr). (1.18)
Тогда волновой вектор угловой компоненты
k = k0+q, (1.19)
и поверхность волновых векторов обыкновенной волны имеет сферическую форму: I&0 + Я I2 - kl, или
2Mz +ql +Q2y+Q2Z = 0. (1.20)
В квазиоптилй^ком приближении (1.17) эта поверхность аппроксимируется параболоидом (пренебрегаем членом <?|)
s 0. , (1.21)
На рис. 1 Ла представлены графики сечений поверхностей волновых векторов (1.20) и (1.21) плоскостью = 0. В точке ? = 0 параболоид и сфера имеют второй порядок касания (они имеют одинаковый радиус кривизны, равный к0). Такая же картина сохраняется в изотропной среде.
Аналогичным образом исследуем поверхность волновых векторов необыкновенной волны. Подставляя (1.19) в (1.16), находим, что эта поверхность имеет форму эллипсоида
2keesqz + 2eesqxqs+ sesqj + eeeq% +hehqy = 0. (1-22)
Уравнение (1.22) легко получить, если воспользоваться соотношением кек - е0 ее OJ2(с2 [23] и подставить в него к = ке + q. В квазиоптическом приближении (1.16) вместо (1.22) получаем уравнение параболоида (рис. 1.16)
IkeEsqz +eeeql +Hehq2 = 0, (1.23)
который имеет в точке ? = 0 второй порядок касания с эллипсоидом (1.22).
Таким образом, при переходе от волнового уравнения (1.7) к параболическим уравнениям (1.15)-(1.17) поверхности волновых векторов аппроксимируются параболоидами, которые в точке, соответствующей среднему волновому вектору к, имеют второй порядок касания с указанными поверхностями; ось параболоида совпадает с направлением лучевого вектора, а радиусы кривизны двух поверхностей равны друг другу. Так как угловой спектр медленно модулированных волн (широких пучков) достаточно узок, qjk ~ д1 , то такое приближение оправдано.
