Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
неотрицательно определена. Поэтому выражение в правой части (17)
неотрицательно, что доказывает (16).
Нужно отметить, что неравенство (16) не имеет большого значения по
следующим причинам:
1) В то время как теорема Пригожина является следствием соотношений
Оизагера, т. е. временной обратимости, а Н-теорема из п. 3 -следствием
динамического равновесия, утверждение (16) является тривиальным
следствием определения (15) и условия выпуклости функции F {А).
2) Дифференциал dxP в общем случае не является полным дифференциалом,
поэтому неравенство (16) не означает монотонного изменения какой-либо
функции.
3) Функция F (А) выпукла в равновесной точке Драв и в ее окрестности, но
не обязана быть выпуклой везде. В частности, она не является всюду
выпуклой при наличии фазовых переходов и бистабильностей. В этом случае
поведение F (А) примерно такое, как показано на рис. 14.1. Поэтому
неравенство (16) справедливо не всегда.
Приведенная критика относится и к тем случаям, когда неравенство типа
(16) берется для открытых систем.
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ЛИТЕРАТУРЕ К ГЛАВЕ 3
Соотношения взаимности для случая четных по времени параметров впервые
были выведены Онзагером [40]. На случай произвольных, т. е. также и
нечетных по времени параметров они были обобщены Казимиром [20]. Для
четных по времени параметров квадратичные и кубические ФДС были найдены в
[47]; в дальнейшем в [49] и [50] эти соотношения были обобщены на случай,
когда имеются также нечетные по времени параметры. В работе [52] было
выведено производящее равенство в форме, близкой к (10.33), и рассмотрены
следствия из него.
Для случая четных по времени параметров производящее равенство типа
(10.33) получено также в [46].
Впервые задача построения оператора кинетического уравнения (уравнения
Фоккера-Планка) по закону релаксации в линейном приближении на примере
броуновского движения была решена Эйнштейном [85]. В нелинейных
приближениях эта задача рассматривалась в [50]. В [25] проведено
восстановление вида кинетического уравнения по феноменологическому
уравнению в линейно-кубическом приближении для одного конкретного
примера. Там же полученное кинетическое уравнение решалось приближенным
методом.
Примеры применения соотношений взаимности можно найти во многих
учебниках, например в [14, 15, 42], а также в [71]. Некоторые примеры
применения нелинейных ФДС можно найти в [60-62, 51 ].
Справедливость линейных Н-теорем для различных примеров показана в [42,
39]. Теорема Пригожина (в энтропийном варианте) была доказана также в
[41]. Нелинейная Н-теорема впервые была доказана в [52] неоправданно
сложным способом. Более простое доказательство дано в [27]. В настоящей
книге приведено новое простое доказательство.
5 Р. Л. Стратонович
ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ НЕМАРКОВСКОЙ ТЕОРИИ
§ 15. Феноменологические релаксационные уравнения в немарковском случае.
ФДС первого рода
1. Релаксационные уравнения с последействием. Когда процесс [Ва (t)\
является немарковским, т. е. процессом с последействием, простые
феноменологические уравнения (11.1) являются несправедливыми. Вместо них
следует брать уравнения
!А* = ХаИ(-)1> а = 1, . . ., г, (15.1)
учитывающие последействие. Здесь %а [А (•)] -функционал от траектории А
(t) такой, что на A (tx) оказывают влияние значения A (t2) при t2 < tv
Если правую часть равенств (1) выразить через силы (5.30),
соответствующие, скажем, энергетическому варианту, то получим приведенную
форму релаксационных уравнений
А* = -?<*[*(¦)]¦ (15.2)
Эти уравнения являются обобщением уравнений (11.5) на случай
последействия. Разлагая функционалы ^ [х. (•)] в ряд Тейлора по х (t),
получим
Лх, (tl) = - j Фа.а, (* 1, к) X"z (t2) dt2 -
- Va j а2а3 (tl, t2, t3) Хс(2 fe) Xa3 (^з) dt2dt3-\- • • ¦ , (15.3)
где использовано равенство Фа [0] = 0.
Заменяя пару (ах, ^) на индекс 1, пару (а2, t2) -на индекс 2
и т. д., формулу (3) можно записать в более коротком виде
А\ = - Фт, ix2 1/2(r)i ,2хх2хз !_ (15.4)
По дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование (или
интегрирование).
В некоторых примерах индекс а может включать в себя непрерывную
переменную, скажем, в качестве а иногда следует брать /, г, где г -
радиус-вектор. Тогда под 1 следует понимать тройку jlt rlf tx и т. п.
Примером немарковского процесса является часть компонент
многокомпонентного марковского процесса. Предположим, что переменные \АХ,
..., Аг, Сг+1, ..., Ст\ в совокупности образуют марковский
процесс. Условимся, что индексы t, /, k пробегают значения
130
1, г + т, индексы а, р, у -значения 1, г, а индексы р, а, т, л, ф -
значения г + 1, г + т. Тогда будем иметь \Bt\ - - \Аа, Ср[. Запишем для
марковского процесса {Bt (1)} уравнения (11.5). В соответствии с
принятыми обозначениями их можно записать в виде
Аа == (х) ==z 1а, р-^|3 ! Ах, а%а ~ VхАх, 4~
+ Ах, ро-^р-^а 4~ ¦*¦/г^ог, оъХоХ "Ь ' ' ' > г г.
(15.о)
Ср ~ ир (X) - А-', р-^Р 4" А>> а-^сг 4" V2 А>, Pv'^P'^v 4"
4" Аь Рсг-^р-^а 4" V2 ' [
