Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
отсутствовал бы.
3. Теплообмен двух тел в линейно-квадратичном приближении.
В предыдущих примерах релаксационные уравнения (11.1) были нелинейными, а
энергия - квадратичной по внутренним параметрам. Рассмотрим теперь
пример, в котором зависимость X от внутреннего параметра содержит
нелинейный член.
В общем случае теплообмен двух тел можно описать формулой
dQldt = / (П, Г2) (Т2 - 7\), (13.17)
где / (Т1г Т2) -некоторая функция. Множитель (Т2 -7\) выделен для того,
чтобы подчеркнуть обращение в нуль теплового притока dQldt при
совпадающих температурах. Как и в п. 12.3, будем обозначать внутренние
энергии двух тел через иг и U2, так что =
= -U2 = dQldt. Предполагается, что выполнено условие тепловой изоляции U1
+ U2 = const. По аналогии с (12.22) имеем dS = = (Т'1 - T2l) dUi, так что
Х = - dS/dUi = 7Т' -ГГ1. (13.18)
Если теплоемкости съ с2 тел зависят от температуры, то равновесная
температура 0 определяется из уравнения
Г, г2
\c1(T)dT+ [c2(T)dT = 0, (13.19)
е е
выражающего баланс энергии.
Подставляя разложения с,- (Т) = сг + с[-(Т - 0), где сг- = "у (0), c'i =
с] (0), в (19), получаем
С[ (Т, _ 0) _u С2 (т2 _ 0) 4.1 /2сх (7\ - 0)2 + V"C2 (Т2 - 0)2 = 0.
Пользуясь этим уравнением, можно выразить Т2 -0 через Т1 -0, а затем
вычесть Тг -0 из Т2 -0. Таким путем можно получить
Ъ=0+^ - т'>2 + ¦ ¦ ¦*
cV + cV" (13-20)
Тш = 0 - ^ (Гг - ТУ - ^i + ;j3- (Гг - T2f + • • ¦
Подставляя (20) в (17) и учитывая связь притока теплоты с Ux, находим
(]1 = (7\ - Т.) - ц (7\ - Т2)\ (13.21)
Здесь
X = f(Q, 0), p=[J-(0,0)r2 _^.(0,0)Cl](Cl4-^)-i. (13.22)
115
Далее, подставляя (20) в (18) и производя разложение обратных температур
в ряд по отклонениям тх - 7\ - 0, т3 = Т2 - 0, будем иметь
V __ 7 - ^2 I С] - Cj {I'l - Tjf ЛО О0\
Л~ 0s + С! + С2 03 * (13.23)
Уравнение (23) нетрудно итерациями разрешить относительно Тг-Т2. Это дает
7\ - 7г = 02У - Cl7C2 03У2.
2 d + с2
Подставляя это равенство в (21), получаем релаксационное уравнение в
приведенной форме
01 = - Х02У + к Cl7C2 03У2 - р0'У2. (13.24)
С1 I с2
Оно является конкретизацией уравнения Аа = ка (У). Учитывая
(24), находим для данного случая производные (10.26):
Lbl = - Х02, U п = 2к Д--Д- 0з _ 2ц01.
' С1 "Г ^2
Используя эти равенства, по формулам (10.27) получаем
Ти = 2Ш2, L1U = 0, Z.U)1 = - 26 ( - ц0*) . (13.25)
Теперь, используя формулы :
Ка$ {Щ = ?<хр + ТхР, (^)> ^aPv (В) ~ Тхр7'
/С"(В) = La,рУр(В) + y2La,pv[ур (В)У7(В) -k9^
(13.26)
модифицированного варианта, аналогичные (11.25), (11.26), (11.29), можно
найти коэффициенты уравнения Фоккера-Планка:
ш W = -ж ^ W w +-T-w1 [K11 ^ ш
на порядок более точные, чем коэффициенты
у, (U) = -k (Ti -T2) = - k (Ui - Д?), /Си = 2Ш2
clc2
линейного приближения. В нашем случае равенства (26) принимают вид
/(п (СЛ) =/-и-[-Вт, 1У1, Kiu = Lul, (13 27)
Ki {U\) = LUiX\ 7 V2Z-i,n (У? - dXi/dUi),
куда следует подставить (25). В (27) Ух следует выразить через Ult
используя (23), (20) и равенство
Л
Ui - lA = J И сГ) dT = d (Ti - 0) 7 V2n (Ti - 0)2. (13.28)
e
116
Вместо w (Uj) можно Также рассматривать распределение по температуре w
(Ту). Уточненное уравнение Фоккера--Планка позволяет определить
негауссовы характеристики флуктуационно-диссипационного процесса
теплообмена. Отметим, что этот процесс будет слабо негаус-совым, если Су
Ф с2, даже в том случае, когда уравнение теплообмена линейно, т. е. когда
в (21) ц = 0.
4. Рассмотрение химической реакции в линейно-квадратичном приближении.
Пусть, например, имеется реакция
N2 + ЗН2 ~t. 2NH3.
Обозначим через clt с2, с3 молярные концентрации газов N2, Н2, NHg, а
также Сг = Vct и введем параметр ? полноты реакции. Конкретизируя для
рассматриваемого случая формулу (8.33), найдем
dCy = ~dl, dC2 = -3 di, dC3 = 2dt (13.29)
Уравнение (8.44) в данном случае имеет вид
V&-
(13.30)
I = Vklc1c2 ~~
С параметром полноты реакции ? сопряжен параметр -сродство st = 2Ъ3 + 2RT
In с3 - ly - RT In су - 3?2 - 3RT In с2 (13.31)
(см. (8.38)). В равновесной точке выражение (31) исчезает (см. (8.42)).
Обозначая равновесные концентрации через с", (31) можно записать в виде
st = 2RT (In с3 - In с") - RT (In а - In с?) - 3RT (in c2 - In c").
(13.32)
Разложим выражение (32) в ряд по ct-с? и ограничимся линейными и
квадратичными членами. Это дает
st = 2RT
сз сз
- 3 RT
RT
Сп - Сп
(13.33)
Интегрируя (29) и полагая, что в равновесном состоянии параметр ? равен
нулю, получаем
Ci-C?=-S, С2-С? = -3?, С3-С? = 2?. (13.34)
Подставляя эти равенства в (33), где с?, с° следует заменить на С,-, С(r),
находим
st = RT (а| + у!2),
(13.35)
где
a = 1/С? + 9/С? + 4/С?, у = (С?)"2 + 27 (С?)"2 - 8 (С?)
.04-2
117
Разрешая равенство (35) итерациями относительно I, будем иметь | = а-1
(л1/RT) - сГ3у (Л/RT)*. (13.36)
Используя (32) и равенство V? (с°)3 = (сХ уравнение (30) можно записать в
таком виде:
I = Vk[ (с3/сз)2[ехр (- а/ЯТ) - 1], (13.37)
где k\ = kiс? (с°)3.
Чтобы получить из (37) полностью приведенное уравнение, остается выразить
