Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сз/сз = 1 + (Сз - С?)/Сз (13.38)
через используя (34) и (36). В линейно-квадратичном приближении в (38)
достаточно учесть лишь постоянный и линейный по член. Разлагая в ряд по
также и экспоненту, получаем приведенное уравнение
4 вФ \ / s4- st-2
, = vh i +
< RT
= Vk[
st-
RT
RT
2 (RT) 4
¦) +
aC'i
гКжГ
+
(13.39)
Это уравнение служит конкретизацией уравнения (11.5).
Вследствие (39) для данного случая находим коэффициенты
/1.1 = - Vk[ (ЯТГ1, /,,п = Vk[(l- 8/oCg) (RT)-2.
По формулам (11.25), (11.26), учитывая, что в данном случае ех = 1,
находим
Vk\
*и<6) = 7ГГ
2 - 1 -
(RTy1 Ж
= (13.40)
Здесь в качестве (В,) достаточно положить s4- = RТаI, т. е. взять
линейный член выражения (35).
Далее, используя формулу (11.29), находим
- al - / 1 4
Ki (I) = Vh
a С.
(13.41)
Тем самым найдены коэффициенты Ki (?), Кп (I) уравнения Фок-кера-Планка
д2
дЪ
¦ (Кг (I) W),
2 дБ"
на порядок более точные, чем коэффициенты
Ki (I) = - Vklat К\ 1 (I) = 2VNtk\
линейного приближения. Уточненное уравнение Фоккера-Планка с найденными
коэффициентами (40), (41) позволяет, в частности,
118
определить негауссовы характеристики флуктуационно-диссипаци-онного
процесса.
Коэффициентные функции (40), (41) и уравнение Фоккера - Планка можно
получить также, не используя ФДС, из кинетического уравнения (master
equation) (8.26) (или (8.45)), дающего полное описание химических реакций
в модели идеального газа. Если, однако, химические реакции протекают при
больших концентрациях реагентов (например, в сильных растворах), то
модель идеального газа является неприменимой. При этом кинетическое
уравнение (8.26) (или (8.45)) несправедливо, так как нельзя считать, что
реакции идут элементарными статистически независимыми скачками
посредством некоррелированного появления единичных молекул; в случае
сильных концентраций несправедливо также и уравнение (8.4) (или (8.44) и
(30)). В этом случае феноменологические уравнения реакций ii - fi (clt
с2, ...) можно получить или экспериментально или на основе более
совершенной теории, а по ним, путем использования марковских ФДС, можно
построить кинетическое уравнение, скажем, в том же приближении по
нелинейностям, что и полученное выше.
5. Линейно-кубический случай. Пример с емкостью. Вернемся к цепи,
изображенной на рис. 12.2 и рассмотренной в п. 1, но предположим, что
нелинейное сопротивление имеет теперь симметричную линейно-кубическую
характеристику
Подстановка (42) в уравнение (12.34) приводит к уравнению
Отсюда, учитывая (3), получаем уравнение в приведенной форме
Q = -Sx - 1/лХх3 = (х).
Это уравнение является частным случаем уравнения (11.5) при функциях ка
(х), заданных в виде (11.31). Следовательно, имеем
Используя формулы (10.24), (10.25) и (11.33) при ег = 1, отсюда получаем
Здесь сг = cn, и - единственный диссипационно-неопределяемый параметр для
данного примера.
Далее, используя (10.23), (11.34), (11.35), находим
Кп (Q) = 2kTS + 42kT (2% + Cl) (Q/C)2 - V2 (kT)2 (2% + Cl)/C,
/ = / (v) = sv + vem
(13.42)
(13.42a)
/1,1 - - S, 11 =- 0, /1,111 - - A..
Kim (Q) = 2 (kT)3 (4*. + 3ci),
Km (Q) = -(kT)2 (4% + 3ca) Q/C.
119
Итак, кинетическое уравнение для плотности распределения заряда имеет вид
• /лч I , д Г / XQ3 kTXQ \ 1 , kTc2 д* Г / Q2 кТ \ 1 , '
w{Q) - LtW+ д0 [(6Сз 2Са 4 dQaL\Ca С )
+ ж- w[(3сг -2Х) + п? (&* -2*) Ц- • (13-43)
где с2 = сх 2Л,, Lx = -^5 оператор линейного при-
ближения.
Решение уравнения (43) облегчается благодаря тому обстоятельству, что
параметры К и с2 можно считать относительно малыми.
Точнее говоря, выполняются неравенства
w = ^-"1> ^r"L <13-44)
Хотя параметр с2 является диссипационно-не-
определяемым, выполнимость второго соотношения (44) не вызывает сомнений.
6. Колебательный контур. Рассмотрим случай, когда имеется два
внутренних параметра или, иначе говоря, феноменологическое уравнение
является уравнением второго порядка. Пусть задан колебательный контур
(рис. 13.2) с нелинейным резистором, имеющим симметричную характеристику
(42).
Суммируя напряжения на различных элементах контура, получаем уравнение
LQ +g(Q) + QIC = 0, (13.45)
где Q -заряд на емкости, V = g (/) -зависимость, обратная
зависимости (42). Разрешая (42) относительно V,
g(I) = RI + ЧвУР+...,
где R = S-1, у = -RВ качестве внутренних параметров Вг и В2 возьмем Q и р
- LQ. Сопряженные с ними силы таковы: хх = QIC, х2 = p/L.
Из (45) нетрудно получить приведенные уравнения
Q = x2 = xi (х), р - - Xi - Rx$ - VeY*2 = х2 (*). (13.46)
Отсюда получаем коэффициенты (10.5):
W, 2 = 1 > ^2,1 = 1> ^2, 2 = R' ^2, 222 = У- (13.47)
Прочие коэффициенты равны нулю.
Чтобы определить для нашего случая коэффициенты Ка (В), Кар (В), КаРу
(В), Каруб кинетического уравнения, требуется задать еще диссипационно-
неопределяемую матрицу caP>v6. В общем случае для двухкомпонентного
уравнения в этой матрице имеется шесть независимых элементов (как
указывалось в конце п. 10.2,
120
ЧИСЛО независимых элементов уменьшается благодаря равенству
