Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 46

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 178 >> Следующая

оператор линейного приближения, конечно, изменится и будет иметь вид
U = - (ра/та) д/дга + (д/дра) [<Ш (г)/дга - - (у/т) ра) -kTyAp.
При этом w является функцией от р и г. Несмотря на то, что процесс
описывается шестью переменными, по-прежнему будет только два
диссипационно-неопределяемых параметра.
8. Нелинейная электрическая проводимость в изотропной среде.
Рассмотрим теперь случай континуального числа переменных, а именно,
возьмем электромагнитные поля, удовлетворяющие урав-
123
нениям Максвелла (12.53). Пусть выполнено условие изотропности и пусть
Bh = р/Д, Dk = &iEk е3Е2Ек,
т. e. допускается кубическая нелинейность.
Допуская также нелинейную проводимость, в изотропном случае вместо
(12.54) -будем иметь
/,. = оЕк + %Е2Ек.
Подставляя это равенство в (12.53), получаем
D = rot Я - оЕ - = х (//, Е), В = - rot Е = х' {Н, Е),
(13.62)
Эти уравнения являются приведенными, поскольку, как отмечалось в п. 12.7,
силами, сопряженными с Dh и Bk, являются переменные Ek и Hk
соответственно. Уравнения (62) являются частным случаем уравнений (11.5).
Двухиндексные коэффициенты 1а> р, соответствующие линейным членам в
правой части уравнений (62), были найдены в п. 12.7. Учитывая нелинейные
члены в первом уравнении (62), найдем че-тырехиндексные коэффициенты
1},Ыт{Гъ г2, Гз, ri) = - 2lljklm8(r1, Гг, г3, Г4),
/, k, I, т = 1, 2, 3, (13.63)
где
Ijhlm == Т~ '
6 (гъ Гг, Гз, Г4) = 8(г12)8(г2Ч)8(г34).
Прочие ljtkjm равны нулю. Как видим, есть аналогия равенства (63) со
вторым равенством (54). Используя условие изотропности, диссипационно-
неопределяемую матрицу берем в виде
Cjk,lm(ri, Гг, г3, г4) =
= 2(c18jh8lm + ciIJhlm)8(r1, г г, Гз, г 4), (13.64)
/, k, I, т = 1, 2, 3. При прочих индексах Cjht !т - 0. Здесь множитель 6
(гх, ..., г4) поставлен по аналогии с (63). Мы используем "принцип
продолжения": диссипационно-неопределяемая матрица общими
свойствами должна копировать матрицу pv6.
Учитывая (63), (64), по формулам (10.23) - (10.25), (11.33), (11.34)
получаем
Kjhlm(ri, ¦ ¦ ¦ , г4) = 4 (kT)3 (47 -|- Зс2 С,) Ijhlm&O'l, ?2, г3, г4),
Kjhliri, Гг, Гз, Е) =
- - 2 (kT)2 (47 -|- Зс2 -|- Ci) (Efihi Ек8]1 Е^/ь) 6 (rlt г2, г3),
(13.65)
К,к(Гъ Г2, Е) =
- kT [2o8]k (27, -)- Ci -I- сг) Е2Ь;к 2 (27, -|- с2) Е/7Д] 6 (г 12),
/, k, I, т = 1, 2, 3. Малые члены, относительная величина которых имеет
порядок kT, здесь не учитываются.
124
Таким образом, определены коэффициенты континуального кинетического
уравнения. Существенно, что формулы (62) и (65) имеют один и тот же вид и
при линейной зависимости D и В от Е и Н соответственно, и при нелинейной.
Конечно, вид коэффициентов кинетического уравнения как функционалов от D
и В при этом оказывается различным.
Итак, несмотря на континуальный характер переменных, в изотропном случае
(при предположенном ранее отсутствии пространственной дисперсии) имеется
только два диссипационно-неопреде-ляемых параметра.
В этом параграфе были получены различные конкретные кинетические
уравнения, соответствующие учету нелинейной диссипации. Решая эти
уравнения, можно найти различные равновесные или неравновесные
корреляторы для флуктуационно-диссипационного процесса, в том числе его
негауссовы характеристики. Нужно отметить, что решение этих уравнений
облегчается относительной малостью членов, входящих в обусловленную
нелинейностью часть кинетического оператора. Поэтому в процессе решения
можно применять те или иные разновидности метода малого параметра.
§ 14. Н-теоремы неравновесной термодинамики
1. Теоремы линейной теории. Возьмем третью формулировку второго закона
термодинамики (п. 2.3), согласно которой справедливо неравенство dF
(a)/dt с 0. Для сложной теплоизолированной системы следует брать
неравенство dS/dt ^ 0. Если использовать условную энергию или условную
энтропию, то второй закон термодинамики можно выразить равенствами (2.71)
и (2.72). Для конкретности будем рассматривать энергетический вариант.
Используя равенство (5.30), которое аналогично (2.68), имеем
dF (A) dF (A) dAa _ " л /цП
dt дАа dt " >
В линейном приближении следует воспользоваться формулой Аа = /а, рхр,
вытекающей из (11.5) и (11.20), благодаря чему производная (1)
записывается в виде
Е(Л)=/а>рхаХр. (14.2)
Отсюда находим
F 04) = Va 0а, р + h> а) *а*р-
Учитывая (10.10), получим -
F (А) = - (2 kT)~l /вр*а*р = - (2?Г)-Чф (0) хахц
(14.3)
125
(см. п. 10.5). Принимая во внимание (5.55), последнему равенству можно
придать вид
/(Л) - - (2Л7Г1 lim [т-i <ДВаДВр)0*а*р1 =
Т-*-0
- (2ЛГ)-1 Нш [т-i <(*аЛ6а)2)о], (14.4)
Т->0
где (ДБаДБр)0 = (ДБаДВр)х при х = 0.
В правой части (4) стоит заведомо неположительная величина, что
доказывает неравенство F (А) с 0. Нужно отметить, что в нетривиальных
случаях, когда {(хаАВа)2)0 ф 0, это неравенство, как видно из (4),
справедливо со знаком <. Аналогично доказывается неравенство S ^ 0.
К доказанной Н-теореме линейной теории близка следующая теорема
Пригожина. Рассмотрим ее в энергетическом варианте, хотя первоначально
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed