Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Фа,ру(^1, ^2, ^з) = ' axV ар (У2) VxjX (Уз) У>, р4т, у (15.49)
Здесь обозначено
1 ^ар (О II== ехр ( D2t). (15.50)
Для краткости матрицы иа(3, ира здесь и в дальнейшем будем полагать
единичными (этого можно добиться линейной заменой переменных .4, а также
С).
Уравнение (48) имеет общий вид (3) для линейно-квадратичного приближения,
функции же Фа,р, Фа, Ру конкретизированы.
Перейдем к уравнениям типа Ланжевена. Используя стохастическое
представление марковских процессов (см. приложение 7), в линейно-
квадратичном приближении можно взять систему
Bi = l(, ,xt + у4с, jkx}xk + % (аф -f olpx,) |(s> (f), (15.51)
S
соответствующую (46). При этом функции сгф (х) = CT;s> -f- Oifx, согласно
(П7.5), (П7.4) связаны с (х) ж Кц (В (х)), xijh " ^ Kijh (В (*))
формулами
Кц (х).= 2] оф (лт) cr}s) (х) = 2] (стф + a\pxk) (стф _|_ oj-px,),
(15.52)
s s
" /v\___ V _(s)_(s) (s)
%ijk\X) - 2j *
s
Предположено, что независимые случайные функции ?(s) имеют нулевое
среднее значение и корреляторы
<i(s) (у i{r) ("> = и(ц
<?(s) (to i(r) (к) г{1) (/")> = (/u) б (/").
Прочие корреляторы не рассматриваются,
137
Щ Поскольку в линейно-квадратичном приближении можно положить
^ij ('^*) hj 1" ^ij, /;-Р; • %ijh := ^ijh>
из (52) получаем следующие равенства:
у __ / у Лт<8>Д5> _L - /
Zj -4j* Zj \Pik^i i Gjk ) - Hj, k>
У fT(s)fT<s)fT(s> - / (15.53)
Zj -' 4jki
s
причем lij,h, lijh выражаются через litjh по формулам (10.13), (10.14).
Когда, как в случае (47), среди litjk отличны от нуля только 1а,ах,
указанные формулы дают
^аа, х ~ kTla> Itjx, а = kTs,aBgBxlа< аТ,
la<,x = 2(kT)4-oxla.cx- (15.54)
Прочие из коэффициентов llj>h и lijh равны нулю. Равенство 1ау,р = = 0,
т. е. в силу (53) равенство
S
согласуется с равенством
<х??е = 0. (15.55)
Таким образом, (55) является следствием того, что в (47) отсутствуют
нелинейные члены 1а,pv XpXv. Если бы, наоборот, присутствовали в (47)
только эти нелинейные члены, то мы имели бы стт, j = 0.
Учитывая (47), (55), запишем уравнение (51) в форме двух уравнений
Аа - Т 1а,аСо 4" 1UU,ax^aCx ~г
+ Ц К5)+а^тСх)|(5), (15.56)
S
Ср - 1Р,р*р -f- 1р,оСо 4- (стр ^ 4- ^р.р^р 4- tfp.tCr) * •
S
В силу малости шумов в главном приближении по kT можно не различать, в
каком смысле понимаются входящие в (56) стохастические выражения (в
смысле Ито или в симметризованном, см. приложение 7). Другими словами,
можно пользоваться формулами (52) и в то же время обращаться с входящими
в (56) случайными функциями по обычным правилам, как с обычными гладкими
функциями.
Решая второе уравнение (56) с применением итераций и с нужной степенью
точности, можно найти С как функционал С Up, |(s)] от Хр (/), (/).
Подставляя его в первое уравнение (56), можно
получить уравнение вида
Аа = - J Фа, du - Va J фа, pvXp*v dt2 du - Fa [/, th (15.57)
138
где Fa it, x, ? ] - некоторые функционалы от и |<s>, имеющие нулевые
средние значения. Далее следует вычислить корреляторы
(FaUl, X, 6], х, ?])*- t2, х] =
= Фа, p(^l> ^2) + I ФаВ, v Wl> ^2. ^з) Ху Уз) dt3-\- •••, (15.58)
(f.Px, о, a, F^[t2, о, a, Fy[t3, о, а)=ф"рУ(*ь **¦ *")¦
Первый из них соответствует фиксированной траектории х (?). При
вычислении Фар, Y следует в учитывать лишь члены порядка kT и линейные по
х. При вычислении Ф"рт нужно учитывать только члены, имеющие порядок
(kT)2 и не зависящие от х. Это указывает точность, с которой следует
решать второе уравнение (56).
5. Квадратичные ФДС. Имеются два различных соотношения, связывающих
между собой функции Ф1; 2з, Ф12, з и Ф123, относящиеся к квадратичной
теории. Одно из них имеет вид
РФы.з= Фцгз Фглз - Фз,12> (15.59)
где верхний индекс "в" как и в (24), (22), означает временное сопряжение:
Фа3,а,а2(^1> t2, ?з) == eai)ia2ea,^*a3, ata2 ( t2, ?з)- (15.60)
Проверим выполнение соотношения (59) в случае уравнений (56). При этом в
(57) следует учитывать лишь члены, линейные по шумам ?(s). При этом
второе уравнение (56) можно брать в виде
Ср = /р.рхр + /р>аСа + 2 (cr<s) + ст^рХр + а^с!) ?(s), (15.61)
S
где
* 1
С(r) (ti) = | УтМЬ.рХр (t2)dt2
-оо
(см. (11)).
Подставляя решение уравнения (61)
СР(М = С"(М +
*1
+ J ПрЛ (tn) 2 (t2) + (Хи.хС? &)] E(S) (fe) dt2
- 00 S
в первое уравнение (56), получим уравнение (57) при - Fai [tu х, ?) = 2
{[aLV + <Vp -f <.хУхя/я. v^v] ?<S) +
S
+ 1ау, <yVon [Oji* ~\~ OnVp "iL стп? тПтф/ф, T*v] ^ ^
+ /",. PrVpJn, рХрУТфtr<,s)?(s)). (15.62)
Здесь подразумеваются интегралы по времени, которые не выписаны
(интегралы не будут нужны, если перейти к спектральному представлению).
Следует выписать еще одно выражение для Fai, аналогичное (62), но
поменять в нем индекс 1 на 2; оба выражения следует подставить в
коррелятор (Fai, Fai)• Для вычисления
139
Фа.а,, vAv 8 указанном корреляторе следует отобрать члены, линейные по х.
Получим выражение
{Fа, > Fа2) = Т1 -}~ Т*2 -Т43 -j- Т44 -f- * ' ' , (15.63)
где
Т\-1а,, "Гал/а" рГрф ? +<#W>!))*e*
S
T2 = tai, ртУтф Л (о^Оа?) VpJn, рХр 4- пер. (1, 2),
S
Тр = la" aVал Tl (олтРа, 4 Оя'ОсЦх) Vxptp, рХр - Пвр. (1.2),
