Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
{л (*,) if (С)> = - kT [и ! ?) б (/12).
Здесь т обозначает транспонирование, ?, т] - матрицы-столбцы,
?т" If - строки. Интегрируя второе уравнение системы (28), по-
лучаем
t
С (() = - } ехр [- А (( - (')] D21A ((') d(' + r\ ((), (15.30)
-oo
где
t
т) (() = | exp [-D2 (( - t')1 r) ((') df. (15.31)
-oo
В силу (30), (31) единовременный равновесный коррелятор (Ср, Са)0 равен
выражению
<iC(t), С1 (/))paB = <f (/) rfT (/)> =
t
= - kT\ ехр [~D2 (t-t)]{L2 -(- L2)exp [- DT2(t-t)]dt (15.32)
-lOO
(использована третья формула (29)).
Линейное приближение соответствует гауссовому равновесному распределению
й)рав (А, С) = const • ехр (- рв (А, С)) =
= const • ехр | Гр{Bi - В°) (В/ - Я?)}
(Р-1 = kT). Причем, в силу (5.30) и (8), имеем d2FldBidBj - и1)}. Поэтому
равновесный коррелятор (В;, Bj) можно записать так:
(В;, Bj) = kTUi?.
Учитывая исчезновение перекрестных элементов иар = 0, отсюда получаем
(С, Ст> = kTU2x (и2 ~1 ира I). (15.33)
Сопоставляя (32) и (33), будем иметь
t
- J ехр [-A(t - О) (L2 -f Z2)exp[- Dl {t-к)) dt' = А"1. (15.34)
r-OQ
134
Найдем теперь коррелятор (л ft) fjT ft)) при tx > ft В силу (31) и
третьей формулы (29) имеем
(П ft) rf ft)) =
= - kT J ехр [- Ъ2 (ti - t')} (L2 + Й) ехр [- D\ (t2 - f')] dt'
-оо
при t1 :== t2 или, если учесть (34),
<Л ft) *Г ft)) = kT ехр [- Ъ2 (ti - ft] ftT* (15.35)
при t1 ^ ft Аналогичным образом при t1 < t2 получаем
(r\ (tO rf (t2)) = кТЩх ехр [- Dl (t2 - /,)] (15.36)
при t2 ^ А- Равенства (35) и (36) можно объединить в одно следу-
ющим образом:
(л (Л) Лт (ft) = kT ехр [- Ё>2 (U - ft] U~] $ (ti - t2) 4-
+ kTUT1 ехр [- Dl ft - ft] 0 (t2 - fi), ((15.37)
где
0 (f) = (1 + sign t)/2 (15.38)
- функция единичного скачка.
Подставляя (30) в первое уравнение (28) и учитывая (14), получим
уравнение Ланжевена
Aa(t) = - \фа,^-t')u^A,(t)dt'+ ta(t), (15.39)
где
ta (t) = la (t) -D12r\ (t). (15.40)
Найдем коррелятор
ft) c (f2)> = (I (to gT (to) - d12 <rj (to r (to) -
- (I (to (ti)) Dn + Dn <fj (/,) riT (f2)> DO (15.41)
случайных воздействий (40). Используя (31) и вторую формулу (29),
нетрудно получить
(fj (t) ?т (t)) = ( - ^ 8Х^ ^^ - ^ ^21 ^ П^И ^ ^ ^2'
10 при ti < t2.
(15.42)
Аналогично имеем
ft) rjT (t2)) = -kT (Li2 + Ш exp [- Dl (t2 - ft] Gft - h).
(15.43) 135
Теперь, используя первое равенство (29), а также (37), (42) и (43), можем
записать искомый коррелятор (41):
Поскольку DUUA = - Lv, (см. (10)), часть членов в правой части сократится
и мы получим
|3 (*,) ?т (t2j) - - (U + L\) 6 (/ц) + Dl2
ехр (- D2tl2) L2\b(t\2) +
+ Lh ехр (- Dlta) D\2&
где обозначено Фа1а2 (4> 4) =. (S", (4) S"2 (4))-
Итак, мы нашли, что в случае релаксационного уравнения (13) в
соответствующем уравнении Ланжевена (39) случайные силы добавляются
стандартным образом. Их статистические характеристики задаются формулой
(44). В этом состоит линейное флуктуа-ционно-диссипационное соотношение
(ФДС). Заметим, что если положить tj > 4. то можно пользоваться формулой
близкой к той, которую получил Мори [37]. Метод, примененный в [37],
изложен в дополнении 2.
Выше мы предполагали, что процесс A (t) является частью компонент
"большого" марковского процесса. Это предположение не является
ограничительным. В самом деле, любой немарковский процесс можно
аппроксимировать частью переменных марковского процесса. Точность
аппроксимации можно повышать увеличением числа добавочных компонент С
(t). Формулы же (23) и (44) не зависят от числа добавочных компонент.
Следовательно, в пределе они будут справедливы для произвольного
немарковского процесса.
4. Частный случай уравнений в линейно-квадратичном приближении. В
линейно-квадратичном приближении в (3) следует оставить лишь линейные и
квадратичные по ха члены. Если Аа есть, как и раньше, часть компонент
комбинированного марковского процесса В = (АС), то последний описывается
такими уравнениями:
р<Ц4)Ст(4)> = -(Е1 + 7.1)б(42) +
--j- D\2 ехр (- D2tl2) (L2i -f- Ты) $(^2) +
+ (7-12 -[- E21) exp (- D2t2\) D]2(r) (4i) H~
-]- D12 exp (-D2t\2) U2 XDr\2(r) (t\2) 'r D\2U2 1 exp (-D2t2\) D\2^ (t2\).
или, короче,
ФЦ-^(Ф1,.2 + Ф2,1),
(15.44)
(Sa &)Ы*2)> = А7'Фв,э(4-/г),
(15.45)
&i.- liy jXj "|" l/Ji, jh^jXh'
(15.46)
Здесь мы предположим, что среди li<jh отличны от нуля только коэффициенты
1р>ах и что в формулах Xi - UijBj \- llzsijhB]Bh ли_ нейно-квадратичного
приближения значения равны нулю, так что можно пользоваться простыми
линейными соотношениями (8). Более общий случай может быть рассмотрен в
принципе теми же методами, но связан с более громоздкими выкладками.
В указанном частном случае уравнения (46) примут вид ¦
= Ф ^а, Ф V2^а, о^ор^Хпб'рбд,
(15.47)
== ^р, рД> '"Ь ^Р, owoiCT.
Второе из этих уравнений совпадает с соответствующим уравнением из (9).
Поэтому его решение имеет прежний вид (11). Подстэеляя (11) в первое
уравнение (47), получим
Аа (к) =
= - [фа,р(^1, t2)xe (tOdU - 'h [ Фа,07(*1> t-i' U)Xb(t2)x^(t3)dt2dU,
(15.48)
где Фа, p имеет прежний смысл (14), а
