Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
марковского процесса. Из них мы укажем два. Разумеется, хотелось бы иметь
такое определение, чтобы все физически определяемые неквантовые
марковские процессы были квантовыми марковскими процессами в квантовой
области. Однако уверенности в этом в настоящее время нет.
О п р еделениеИ Назовем процесс \Ва (/)) равновесным квантовым марковским
процессом, соответствующим температуре Т, если квазиклассический
характеристический функционал (77), где Р = 1/kT, а 36о - полный
гамильтониан (включая термостат), сов-
306
падает с характеристическим функционалом некоторого неквантового
марковского процесса. Это определение означает, что все равновесные
квазиклассические моменты
¦ ¦ ¦ Ban(tn)')K' к -
= (ЛГ)"-1 />1... <"-1, <5^ (*,)...?"" (*")>) (26.81)
совпадают с моментами обычного марковского процесса. Из определения
следует, что единовременное распределение вероятностей w (В),
определяемое единовременными квазиклассическими моментами (Ваг (t) ...
Вап (0)к' к. п = 1, 2, удовлетворяет кинетическому уравнению w = Mw.
С рассматриваемым вопросом связано понятие квантовых уравнений Ланжевена.
Определение 2. Справедливые при любом t уравнения
К (0 = Ха (-В (/)) 4- Тар (В (0) ?р (0 (26.82)
называются квантовыми уравнениями Ланжевена, если корреляторы и
коммутаторы процессов |gp (/)} известны и если gp (t) таковы, что
единовременные коммутаторы [Ва (t), Вр(/)1 имеют обычный вид и не
меняются со временем.
Под %а, я|)ар в (82) понимаются операторные выражения, т. е. должен
указываться также порядок действия операторов Въ ..., Вт. Очевидно, что
уравнения Ланжевена полностью определяют квантовый процесс. Начальные
условия несущественны, поскольку предполагается, что начальный момент
времени унесен в бесконечность: t0 = - оо, а функции %а (В)
предполагаются такими, чтобы в системе была диссипация.
Частным случаем квантовых уравнений Ланжевена служат уравнения
q = (i/Й) [Ж, q], р = (ЦП) (Ж, р] - Ъ (i/П) \Ж, q] + eg (/), (26.83)
описывающие простую динамическую систему с трением. В связи с последним
уравнением сформулируем легко доказываемую теорему: Теорема 1. Пусть
выполнены следующие условия: 1) процесс g (t) гауссов, имеет нулевое
среднее значение и момент
<g (/,) g (/2)> = kTQr (djdh) 6 (/I2), (26.84)
2) с - (2byBy 3) гамильтониан Ж квадратичен: Ж = V2 (m_1p2 + -f х<72)-
Тогда определяемый уравнением (83) процесс \q (t), р (/)} является
равновесным квантовым марковским процессом, соответствующим температуре
Т.
Доказательство. В силу, условия 3) уравнения (83) дают
[т (d/dt)2 -f b dldt + x] q = eg (p = mq).
Решая это уравнение методом преобразования Фурье и учитывая (84), находим
(q (coi) q (о"*)) == [(mco? - х)2 + b\of]-1 c2kT&l (ico,) 6 (со, + co2).
(26.85)
307
Нетрудно получить также
(р (coi) q (со2)) = mtcoi [(mco? - и)2 f Ло?]-1 c2kT(r)t ('(r)i) 6 (coj +
co2) ~
(26.86)
и аналогично для (p (пи) p (co2)). Согласно (81) переход к квазиклас-
сическим моментам при п = 2 сводится к умножению на к.ТФх или, в силу
равенства Ф1 = р/0Т (см. (25.40)), - к делению на 0/\ После деления из
(85) будем иметь
(q (coi) q (со2))к- к = [(mco? - х)2 -}- b\о?]-1 ckT б (coi -j- со2)
и аналогично для других моментов. Но последние моменты совпадают с
моментами неквантового марковского процесса, кинетическое уравнение
которого имеет вид
w - -(p/m) dw/dq -f- д [(bp/m xq) w\/dp -j- 1/2cikTd'2w/dp2.
Можно показать, что в гауссовом случае квазиклассический
характеристический функционал полностью определяется двукратными
квазиклассическими моментами подобно тому, как симметризацион-ный
характеристический функционал определяется двукратными симметризационными
моментами. Поэтому моменты большей кратности можно не рассматривать.
Итак, условие, о котором говорилось в определении 1, выполнено. Остается
проверить еще правильность коммутатора, о чем говорилось в определении 2.
Применяя формулу (16.52), т. е. формулу ([D (t), Ql) = |Г+ (d/dt)} 1 X X
(D (i) Q), из (86) будем иметь
(1Р ((r)i)> q ((r)г)1) = mmi [(mco? - x)2 -|- Ь2со?]~* с2Ш (c'coi) 6 ((r)i -|-
co2)
(0+ (д)/Г+ (p) = ififtp). Отсюда по аналогии с известной формулой
оо
(?"))=4г J s"dco
-оо
будем иметь
00
i тс2 Г со2 dco с2
9(01;- 2я J (тсо2 - х)2 + й2ш2 ~2Ь '
-lOO
Следовательно, необходимым и достаточным условием обычных коммутационных
соотношений является условие 2). Доказательство закончено. Можно доказать
также, что обычные коммутационные соотношения справедливы и сохраняются
во времени не только в среднем. Для доказательства справедливости и
сохранения обычных коммутационных соотношений не только в среднем нужно
потребовать соответствующего вида коммутатора для ? (t).
Теорема 2. Если вблизи термодинамического равновесия, соответствующего
температуре Т, внутренние параметры удовлетворяют феноменологическому
уравнению линейной релаксации
Aa = -daPA 3 (26.87)
308
(Аа = (Ва)), то процесс (?" (/)| явлйе1ч:й с^цконарйым Маркйё* ским
квантовым процессом, соответствующим температуре 7Y Для доказательства
