Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
соответствии с разложением экспоненты, вместо (74) будем иметь
?>(/), А(<)] = 2 Wfal)-
¦v1...vnx
n=0
Р К
X
Pi ... п I dXi J dl2 . . . J dln ([exp (1\Ж0) 7 [A] exp (-1\Ж^\
X . .
... X [exp (1пЖ0) Jn [h] exp (-1пЖ0)])0.
Сравнивая это разложение с (72), находим квазиклассические моменты
Р К
mlK.n[h{t)] = {kT)n J <й2 х...
О о
^71-1
• • • х J dln ([ехр J1 [Щ ехр (-1гЖ0)\ X . . .
о
... X [ехр (1пЖо) Jn [h\ ехр (-1пЖ0)])й. (26.75)
При выводе (75) использована симметрия выражения, стоящего в правой части
этого равенства, по индексам 1, 2, ..., п. Используя тождество (П8.7),
число членов в правой части (75) можно уменьшить, а именно, вместо (75)
будем иметь равенство
Р
mf\K.n[h (01 = Pi... (л-i) J dl, J dl,
2 X . . .
X
Л-Z
j dln_ 1 ([exp (1гЖ0) Л [h\ exp {-1гЖ0)\
X . . .
... X [exp {1п_гЖ0) Jn-i [h] exp {-1п.гЖ0)\ Jn [A])0. (26.76)
Кроме (65), можно рассмотреть аналогичный квазиклассический
характеристический функционал
i-S(.
п=0 \
-|Щ,+ J u(t)B(t)
WB [и (t), h (0) = Zj { exp фЖ0) exp
ft(T)
(26.77)
где вместо потоков J поставлены внутренние параметры В и пределы
интегрирования взяты бесконечными.
По формуле
["(/), /1(01= ? (лI)-1 Л1Г:[Л(/)i"1... ип,
п=О
(26.78)
аналогичной (72), он определяет квазиклассические моменты параметров В.
304
Пользуясь равенством
ОО оо оо
j v (t) В (t) dt = j v (t) dB (t) = - j В (t) v (t) dt,
- OO -OO OO
нетрудно вывести формулу связи двух функционалов:
?[у(Д Л(01 = 1>(0, h(t)].
Из нее, а также с помощью (72) и (78) получаем формулы связи ква-
зиклассических моментов
МГ.Кп[Ь(Щ = (д№Г{ . . . (d/dtnrl ml. K.n[h(t)\.
Они имеют тот же вид, что и в случае обычных моментов. Применяя эти
формулы к (76), получаем аналогичную формулу для параметров В:
Р А.1 2
MlK.n [h (0] = (kT)n-1 р, ... (.-о J dh \di2... J din-i x
0 0 0
X ([exp (ХхЖ0) B^ [h\ exp (-X^g)] X .. .
... x [exp (K-i2@o) Bn-i [h\ exp (-K-^o)] Bn [A])0. (26.79)
Если здесь положить h (t) = 0, то при учете (25.30) получим приведенную
ранее формулу (25.43). Далее, если обе части равенства (79)
продифференцировать по h"+1, после чего положить h (t) = 0, то при учете
(16.37) найдем формулу
[6Mr:.K./6A"+1]^o = (ABrr-1 (ЦП)... X
X I S Ф(/?1, • ¦ Ph-Ъ Ph + Pn+1, Ph+1, • • - , Pn-l) X I ft=l
X (Bj . . . Bh_x [Bh, Bn+1] Bh+1 . . . Bn)g г] (tk - tn+1) j-
Здесь, как и в (25.43), операторы В есть операторы гейзенберговского
представления, эволюционирующие с невозмущенным гамильтонианом
Аналогичным образом из (79) можно найти и более высокие производные по
внешним силам в нулевой точке.
Если в (79) положить п = 1, то получим величину MlK[h], которая совпадает
с обычным средним Аа \t, h], стоящим в левой части равенства (16.2).
Производные от него по силам в нулевой точке совпадают с адмитансами
(16.3). Далее, полагая в (79) п - 2, получим второй квазиклассический
момент М^к !А]. Пользуясь им, можно образовать квазиклассический двойной
коррелятоо"
Ktiк [h] = Ml к [h] - Ml к [h] Ml к [h] =
= М2 K[h] - (G\h\ V2G1,34A3A4 -j- • •) (G2h2 -j- V2G2,56^5^6 -{-••¦)
(26.80)
Через моменты (79) можно выразить также квазиклассические корреляторы с
большим числом индексов.
305
По аналогии с обозначениями, принятыми в §§ 17, 18, согласно которым
справедливо разложение
(В 1 [Л], . . ., Вт [А])о = G1 ... т "Ь Gl ... т, (m-f-l)km-f-l "Ь
. т, . . . ,
введем следующие обозначения для производных от квазикласси-ческих
корреляторов:
К\ ... т [А] = G\ ... т ~\- Gl ... т, <m+l)Am+l ~\~
'"I- VaGl ,.К т, (m+1) (m+2)hm+\hm+2 + ' ' ' Вследствие производящего
равенства (71) входящие сюда функции GK'. к должны быть связаны с
адмитансами G*'2...m = G\, 2... т и между собой такими же соотношениями,
какими связаны между собой функции G... (включая адмитанс) в неквантовом
случае. Из (80) при учете (79) и (16.37) нетрудно получить равенства
G^ = kTQ>(pi)(Bu ?2>о,
Gi2,K3 = (t/й) (kT) [Ф (Pl + рз) ([Sl, Вз\ в2)о т) (/,з) +
Н- Ф (Pi) (Bi [В2, В3])01] (^2з)], G12,34 = (t'/й) kTPzs, (Ф (р\ -)- рз -
ф рТ) ([[В\, Вз), ВТ\ В2)о Л134 + Ф (Рг + Рз) ЦВх, В3] [В2, В4])0
Г)13Г)24 -ф-
~(- Ф (Pl) (Вх [[В2, В3], В4])0Г1234| - ^*34^1, 3^2, 4-Выражая в этих
равенствах, а также в равенстве
Gj23 = (kT) [Ф(рь р2)(Вь В2, В3)о -ф Ф(р2, рз) (В2, В\, В3)о] средние
значения через функции (16.43) при учете формул из п. 16.6, а также
используя (25.40), можно убедиться, что функции б5г к" Gm*, С^о/з, Gi2,34
выражаются через V12, В123, Vi234 точно так же, как G12, G123, G12, 3,
G12j 34 выражаются через V... в неквантовом случае. То же самое относится
и к другим функциям GK; к.
12. Квантовые марковские процессы. Вопрос об обобщении понятия
марковского процесса на квантовый случай является сложным вследствие
того, что обычное определение марковского процесса дается при помощи
условных вероятностей, а в квановой области понятие условной вероятности
теряет однозначный смысл ввиду возможности различным образом упорядочить
операторы. Имеется несколько способов ввести понятие квантового
