Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(26.2)
Учитывая уравнения Гамильтона
qt = дЖ/дрь pi = -дЖ/dqi,
отсюда получаем
йЖ (г (t), t)/dt = дЖ (z, t)/dt.
Для случая (1), (2) это равенство принимает вид
йЖ(гЩ, t)/dt = - ? Ba(z)fijt).
(26.3)
а
Ю Р. л. Стратонович
289
Предположим, что силы ha (t) отличны от нуля только внутри интервала а <С
t <С b и тождественно равны нулю вне этого интервала:
ha(t) = 0 при / < йи / ^ 5 = -а >0. (26.4)
Тогда, как видно из (3), гамильтониан остается постоянным в области t <
а, а также в области t 5- -а.
Найдем величину изменения гамильтониана на интервале а < <t<b. Используя
(3), имеем
ь
Ж(г(Ь), Ь)-Ж(г(а), а) = - J Ba(z(t))ha(t)dt.
а
Если произвести интегрирование по частям и учесть равенства ha (а) = ha
(b) = 0, то полученную формулу можно записать в виде
ь
Ж (г (Ь), Ь)-Ж(г(а), а)= J Ba(z(t))ha(t)dt.
а
В силу (1) и (4) Ж (г (Ь), Ь) есть не что иное, как Ж0(г(Ь)), а Ж (z(a),
а) - Ж0 (г (а)). Далее, Ba(z(i)) есть не что иное, как Ва (/), поэтому
имеем
ъ
Ж, (г (Ь)) = Ж0 (г (а)) + J Ja (t) ha (t) dt (26.5)
a
(Ja = Ba). Входящие сюда гамильтонианы соответствуют нулевым внешним
силам.
2. Характеристический функционал для потоков при воздействии внешних
сил. Введем характеристический функционал
0 [iu (t), h (*)] = ^ ехр | i J Ja (t) ua (t) J ^ , (26.6)
описывающий статистические свойства потоков Ja (t), a < t < b, при
наличии внешних сил, удовлетворяющих условию (4).
По аналогии с (25.13) потоки Ja (t) = Ja (z (t)) могут быть выражены
через начальные значения z (а) динамических переменных и через силы ha
(/'), действующие на интервале t' (a, t):
Ja(t) = Fa.t-a (/')]• (26.7)
После подстановки (7) в (6) следует произвести усреднение по z (а).
Поскольку до момента времени а внешние силы не действовали, в качестве w
(г (а)) можно взять равновесное распределение Гиббса
w (г (а)) = С0 ехр [-$Ж0 (г (а)) ]. (26.8)
Следовательно, для характеристического функционала (6) имеем формулу
0 [v (t), h (Г)] = С0 J ехр | j v (t) Ft [z (a), h (Г)] dt - $Ж0 (z (a))
J dz(a).
(26.9)
290
Заменим здесь v (t) на v (t) - $h (t). Будем иметь
0[у(О-PA(О, А(/')] =
f ъ ь |
С0 j ехр [ v (t)J(t) dt - |3 j А (t) J (?) dt - (z (a)) | dz (a),
где J (t) по-прежнему имеет смысл (7). Если теперь применить полученную
выше формулу (5), то можно найти
0[у(/)-РА(/), Я (?')] =
= С0 J ехр j j у (t) Ft.b [z (A), h (?')] di - p5?0 (z (b)) J dz (b).
(26.10)
Здесь использовано то, что якобиан преобразования z (a) -*~z(b), как и
всякого касательного преобразования, равен единице.
3. Неквантовое производящее равенство. Переходя к обратному времени 7,
естественно положить ?0 = ? (А) = -Ь. Это значит, что начальному моменту
в обратном времени соответствует самый поздний момент отрезка [а, Ь] в
прямом времени. Кроме того, z (?0) = = гг (Я), Имеют место формулы связи
haCt) = zaha(-b = (26.11)
так как
Ва (?) = Ча.Ва (~?)¦
Запишем аналог равенства (7) в обратном времени:
J a (?) = Fa, t-й [Z (t0), A (?)]. (26.12)
При наличии временной обратимости функционал К в (12) - тот же самый, что
и в (7). Должно выполняться условие согласования: при а <С t <С b и при Я
(Г) = еЯ (-Г) левые части равенств (7) и (12) обязаны удовлетворять
соотношению
= - 4aJa(-t)
из (11). Это приводит к равенству
Fa,t.b[z(b), A(?')] = -ea.Fa,w[ez(A), еЛ(-Г)]. ;(26.13)
Запишем теперь аналог формулы (9) в обратном времени:
0 [5 (?). Я (?')] =
= С0 jexp | J v (?)Ft-t0 [z(?0), Я (?')]<??- |Ш0(2(?0))| dz{?0). (26.14)
Здесь учтено, что конечному моменту выбранного отрезка [а, Ь] в обратном
времени соответствует начальный момент этого отрезка в прямом времени, т.
е. ?к = -а. Поскольку функционал F в (9) и (14) - один и тот же, должны
также совпадать функционалы 0,
10* 291
если а = - b. Используя первое равенство (11), а также указанное выше
равенство z (?") = sz (b), можно привести (14) к виду
0[0(Г), еА (-?')] =
= С0 j ехр j 5 (?) Fi+b [sz ф), sh (-?')] dl - р^0 (г ф)) J dz ф).
Делая замену переменной интегрирования (положив ? = -t) и учитывая (13),
отсюда будем иметь
в [0(F), sh (-?')] =
= С0 J ехр J - j ей (-?) Ft.b [z ф), h (?')] dt - Р^0 (z ф)) j dz ф).
(26.15)
Выражения в правых частях (10) и (15) совпадут, если положить -(-t) = va
(t). Следовательно, при этом будут равны и левые части, т. е.
0 [и (?) - рЛ (?), h (?) ] = 0 [-sv (-?), sh (-?) ]. (26.16)
Теперь можно перейти к пределу a -у-оо, й -у оо. Формула (16) и есть
искомое неквантовое производящее равенство. Оно было получено Бочковым и
Кузовлевым в 1977 г. [4]. Если формулой
П [у (?), h (?)] = р"1 In 0 1ру (?), h (?)] (26.17)
ввести производящий функционал П, то вместо (16) будем иметь
эквивалентное равенство
П [у (?) -h (?), h (?) ] = П [-sy (-?), sh (-?)]. (26.18)
Очевидна аналогия (18) с производящим равенством (6.33) марковской
теории.
В заключение этого пункта укажем более симметричную форму записи
равенства (18). Заменив в нем у на у + hi2, будем иметь
П fУ Ф) - h (?)/2, h (?)] = П Г-sy (-?) - sh (-?)/2, sh (-?)].
