Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дает уравнение
d (a+a)/dt = -2b (а+а - N),
откуда после усреднения получаем стационарное значение (а+а) = N.
Подставляя его в (95), будем иметь
(a (ix) a+(t2)) = (М -)- 1) ехр (-b | i121 - mj.i2),
([о (h), a+ ft,)]) = exp (-b \t12\~ m0t12).
Применим к этим выражениям формулу (16.52) для некоторой пробной
температуры Т = (?(3)-1. Переходя к спектральной форме записи, получим
равенство
2Ъ [(со + щу + Ъ2Г = [ехр (pft<o) - 1] (N + 1) 2Ь [(со + со0)2 + ЬТ1-
(26.96)
Рассмотрим, какие имеются возможности выполнения этого равенства. Сначала
предположим, что b Ф 0. Тогда должно выполняться равенство
[ехр (РЙш) - 1 ] (ЛГ+ 1) = 1. (26.97)
Последнее невозможно, даже если совершить предельный переход Р -> 0, N -
*- оо (в этом случае правая часть (97) равна йсоПт фМ), т. е. зависит от
со).
Остается случай b = 0. При этом (96) справедливо при всех со, кроме точки
со = -со0. Можно показать, что 2b [(со + со0)2 + Ь2]-1
311
при ?>-> 0 переходит в 2я6 (со + со0). Поэтому для повсеместного
выполнения (96) необходимо равенство
Ц + 1=(вР*"._ 1)-1 (26.98)
Но. при b = 0, N<oo равенство (94) становится тривиальным: F = ш0 [а+а,
F], Чтобы нетривиальный член в (94) не исчез, должно быть N = оо, bN > 0.
Однако в силу (98) условие N = оо означает ехр (Рйсо0) ="1, т. е. или со0
=0, или Г-1 =0, или оба эти параметра равны нулю. Итак, при й Ф 0 и при
нетривиальном (94) имеются две основные возможности: или 6=0, со0 = О,
или b = О, Т = оо. В любом из этих случаев N = (а+а) = оо, т. е.
стационарное распределение не существует.
Из сказанного ясно, насколько трудно применять специфические квантовые
марковские процессы для описания физических флуктуационно-диссипационных
процессов.
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ЛИТЕРАТУРЕ К ГЛАВЕ 6
Немарковские производящие равенства были выведены в работах [44] и 14],
цитированных в тексте. Общие производящие равенства рассматривались также
в [7]. Формулы (26.23), (26.52) были получены в [4].
Глава 7
НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ
§ 27. Открытые системы. Примеры открытых систем
1. Открытые системы и описывающие их уравнения. Открытой системой мы
называем систему, к которой из внешней среды подводятся ненулевые потоки
Jix, имеющие произвольные знаки. Схематически открытая система
изображена на рис. 27.1. На нем большой прямоугольник, разделенный на
квадратики, обозначает открытую систему S0, которая может иметь сложное
строение. На рисунке показаны также подходящие или отходящие внешние
потоки yfx, ..., J%K. Если уравнения, описывающие открытую систему,
привести к уравнениям первого порядка, то получим систему уравнений
Aa = f^{A, Гх), а= 1, (27.1)
где А обозначает набор внутренних термодинамических параметров Лъ ...,
Лг, a Jex - набор указанных выше потоков. Потоки J**, ...
гех
..., Jk могут равняться производным по времени от части параметров Л.
Обозначая эти параметры через Qg, будем иметь /|х = = Фз> Р = 1, •••, к.
Эти уравнения можно считать входящими в систему (1). Будем говорить, что
система S0 открыта по параметрам Qx, •••, Qh и закрыта по прочим
параметрам, входящим в набор Лг, ..., Ah.
Если в (1) все внешние потоки положить равными нулю, то получим закрытую
систему, описываемую уравнениями
Ау=№(А, 0), v=l, ...,/<л (27.2)
Открытая система может быть полностью открытой, т. е. открытой по всем
переменным. Тогда / = 0 и уравнения (2) отсутствуют.
2. Включение открытой системы в закрытую. Предположим,
t+M
что количества AQP = j Урх dt , Р = 1, ...,&, поступают в от-
t
крытую систему S0 из некоторых запасающих систем или "резервуаров" Ръ
..., Ри или, наоборот, из S0 поступают в "резервуары" (рис. 27.2).
Большую систему
= S0 5J Яр
3=1
313
(т. е. открытую систем и плюс резервуары) можно уже считать закрытой.
Свободная энергия F0 большой системы складывается из свободной энергии
открытой системы и свободной энергии резервуаров:
k
= (27.3)
p=i
То же самое относится и к энтропии. В качестве внутренних параметров А
берем параметры Аг, ..., Аи Q1; ..., Qk (т. е. г = / + к).
Рис. 27.1
Рис. 27.2
Учитывая (3), определяем термодинамические силы ха = dF6/dAa, сопряженные
с указанными внутренними параметрами:
ху = dFo/dAy при у < /;
х/+р = dF0/dQp f dFp/dQp при |3 = 1, к (27.4)
(предполагается, что Fp не зависит от Qv при ' у Ф (3). Обозначим через
Qp запас количества Qp, находящийся в резервуаре Рр. Увеличение
количества Qp в системе S0 сопровождается уменьшением этого количества в
резервуаре. Поэтому
dQp = -dQp. (27.5)
Производная
dFp/dQp = ftp (27.6)
имеет смысл термодинамической силы, сопряженной с Qp. Учитывая (5) и (6),
второе равенство (4) можно записать в виде
*/+р = dFo/dQp - dFp/dQp = dF0/dQp - Tip. (27.7)
Теперь для большой закрытой системы можно записать уравнения в
приведенной форме (11.5). Они имеют вид
Аа. = "а (dFjdAy, dF0/dQp - h), а = 1, .. . , г. (27.8)
Принимая во внимание, что F0, а следовательно, и производные dF0/dAy,
dF0/dQp являются функциями от А = (Аъ ..., Аь Qx, ... •••> Qft),
