Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрим соответствующие уравнению (87) уравнения Ланжевена
Дх==-4зВр + !а(0-
Коррелятор входящих сюда случайных Воздействий Определяется квантовым
линейным ФДС первого рода (19.20). Положив в (19.16) h (t) -- 0, видим,
что матрица Фь 2, входящая в (19.20), связана с матрицей cfap> входящей в
(87), соотношением Ф"^ (A, tz) иу& - = daрб (А- А), где иа, у = d2F
(В)/дВа дВу. Но согласно (25.41а) d2F(а)1даадау =-$(ВаВу)к-к. Учитывая,
что||uaJ=|| -d2F(a)/daaday\fl, имеем поэтому Фа^ (A, А) - (В6 (t) Ву
(t))K- к 6 (A - А). Теперь
по формуле (19.20) получаем
(?"(/,) (А)> = @Г(д/ди) [day(ByBэ)к- " + (ВаВу) dPv] 6 (ti - А).
При переходе к квазиклассическим моментам оператор 0f (d/dti) опускается
и флуктуационные воздействия становятся дельта-коррелированными, а
соответствующий квазиклассический момент (Ва (А) Вр (А))к' к - обычным
для марковской линейной релаксации:
I (Ва (A) Bp (А))к-* И = ехр [-D (А - А)]|| {Ва (А) Вр (А))к-* ||, А ^ А
(26.88)
(.D ==||dap||). Линейный марковский процесс является гауссовым. Поэтому
квазиклассический характеристический функционал полностью определяется
двойным квазиклассическим моментом и более высокие моменты можно не
рассматривать.
Вышеизложенные теоремы относятся к линейному приближению. Интересен
вопрос о возможности нелинейных обобщений, например вопрос, можно ли в
теореме 1 избавиться от ограничения 3). Хотелось бы также, чтобы было
справедливо такое утверждение: процесс, описываемый уравнением Ланжевена
(82), является марковским, если gp (t) - квантовые гауссовы белые шумы,
т. е. если
(?р (0 (О) = в? (d/dt) 6 (t - К) 6Pv, <?р> = 0.
Вопрос о нелинейных обобщениях не исследовался.
Определение 3. Назовем квантовый процесс \ВЛ (t), ... ..., Вт (?)}
специфическим квантовым процессом, если в шредингеров-ском представлении
производная р линейно выражается через р:
р (t) = ТИр (t). (26.89)
Здесь р матрица плотности, действующая в том же пространстве, что и
операторы Въ ..., Вг, и способная быть выраженной через них (при этом
набор операторов должен быть достаточно полным, например, содержать
обязательно пары сопряженных координат и импульсов).
309
Onepatop M с (89), раЗумееется, должен удовлетворять опре^ деленным
необходимым требованиям: сохранение нормировки, сохранение эрмитовости и
др.
Поскольку среднее определяется обычным образом: (F) =
= Tr (Fp (t)), зависимость от времени можно перенести на F, так что Тг
(Fp (?)) - Тг (F (t) р), т. е. перейти к представлению Гейзенберга. Тогда
из равенства
Tr (Fp (0) - Tr(FMp) = Tr (F (t) p)
получим уравнение
F(t)~ F (t) M = MTF (t), (26.90)
сопряженное уравнению (89). В отличие от обычного случая свойство
дистрибутивности
ехр (ЛГт) (FG) = [ехр (Mrx) F] [ехр (Мтт) G]
для нетривиального марковского процесса не выполняется.
Для специфического квантового марковского процесса доказана (см.,
например, [10]) квантовая теорема регрессии. Эта теорема утверждает, что
из уравнений
Aa = ~day(t)Ay (Аа = (Ва)) (26.91)
вытекает равенство
d(Ba(t1)B&(t2))/dt1 = day(t1)(By(t1)B&(t2)), к>к- (26.92)
При йац, не зависящих от i, уравнение (91) совпадает с (87), а уравнения
(92) имеют решение
II (Ва (к) Fp (ti)) || = ехр [-D (t± - *")] || (Ва (/2) Fp (f8)> [|, tx ^
t2.
Если, кроме этого равенства, учесть еще аналогичное равенство при замене
к t2, получим
II (Fa (ti) Fp (к)) II - ехр (-D кгЧи) || (Ва (t) Fp (t)) || ехр ( -
D\l4n).
(26.93)
Сравним (93) с равенством (88), приведенным к аналогичной форме.
Поскольку (B1S2)K K = [0j ]_1(В^2), будем иметь
[ехр (-D ^12Ti12)]av (Ву (t) Вр (*))*•к [ехр ( - DTt21 т|12)]р6 =
= [(c)г (д/дЩ-1 [ехр (-D (FT (0 Fp (^)) [ехр (-FW21Ti21)]p6-
Это равенство, выполнение которого необходимо для соответствующих
некоторой температуре Т равновесных процессов, весьма трудно объяснить
при И Ф 0, так как действие оператора [(c)ф ]-1 должно изменить временные
множители. Поэтому возникают сомнения по поводу применимости к
термодинамике специфических квантовых марковских процессов.
310
В связи с данным вопросом полезно рассмотреть взятый из [10] (с. 395)
пример специфического марковского процесса, когда уравнение (89) имеет
вид
р = -гсо0 [а*а, р] + b(N + \)(2ара+ - а+ар - ра+а) +
+ bN (2а+ра - аа+р - раа+),
где со0, b, N - постоянные, а - (2й)-^2 (q + Ip), а+ = (2й)-1/2 X X (q -
ip). В этом случае уравнение (90) таково: ,
F = ш0 [аа\ F) + b(N+ 1) {[я+, F) а - а+ [a, F]} +
+ bN\[a, F)a+-a[a+, Z7]}. (26.94)
Полагая здесь F = а и используя обычное коммутационное соотношение [а, а+
] =1, находим а = -(Ь + г'со0) а или, если произвести усреднение, (а) = -
(b + гоо0) (о). Взяв комплексно-сопряженные величины, будем иметь (а+) =
-(b - г'со0) (а+). Применяя квантовую теорему регрессии, по этим двум
уравнениям находим стационарные корреляторы:
(а &) а+ (t2)) = (о (0 ct (0) ехр (-611121 - m0t12) =
= ((о+ (t) а (I) + 1)) ехр (~Ь | fJ21 - mj12)> (26.95)
(а+ (t2) a &)) = (а+ (t) a (t)) ехр (-b \ t121 + i(o0t21).
Величину (а+ (t) а (^)) легко определить, подставив F = аа+ в (94). Это
