Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
зависит от времени: D = D.(z, t), то вместо (29) имеем
dD/dt = (i/ft) (Ж (t) D -Ъж (f)) -f dD/dt. (26.30)
Применяя формулу (30) к гамильтониану Ж (t), будем иметь
dM (t)/dt = дЖ (t)/dt. (26.31)
В квантовом случае равенство (1) принимает вид
= Ц Baha{ty
а
Следовательно, в силу (31) имеем
Ш (t)/dt = - S (t). (26.32)
а
Эта формула аналогична (3). Интегрируя (32), получаем
b ь
Жь (Ь) = Ж0 (а) - j Baha (f) dt = Ж0 (a) f j Jaha (i) dt, (26.33)
a a
где Жй (t) = Жй (z (/)), Ja - Ba и использованы равенства h (a) -= = h
(b) = 0.
Итак, на квантовый случай распространяется теория, изложенная в п. 1.
Формула Гиббса (8) теперь имеет вид
Ро (о) = С0 ехр (-рЖ0 (а)). (26.34)
Кроме этого, рассмотрим еще гиббсову матрицу плотности, соответствующую
моментам времени t 5* b:
p"(b) = C0eXp(-pi"0(b)). (26.35)
Матрицу (34) можно считать не зависящей от времени матрицей плотности
гейзенберговского представления для прямого времени, а матрицу (35) -
аналогичной матрицей для обратного времени.
295
Подставляя (33) в (35), получаем
р (b) = С0 ехр 1-^о (а) - р?],
где для краткости обозначено
ь
Е = } Ja (О К (0 dt.
а
Воспользуемся формулой ехр (-|ЪЖ0 - Щ =
(26.36)
(26.37)
= ехр (-|3<Ж0) ехр
- j dk (ехр (кЖ0)Е ехр (-кЖа))к
(26.38)
которая аналогична равенству (25.31) при учете (25.30), отождествлен с
Ж0. Применяя (38) к (36), будем иметь
Р
где
р" (b) = С0 ехр |
о (а)] ехр
- j dk (ехр (кЖп)Еехр (-^<5^0))л
(26.39)
Здесь Жп = (а); перед экспонентой в силу (34) стоит матрица р0 (а).
7. Общее квантовое равенство с произвольным операторным выражением.
Поскольку в силу (4) внешние силы при t < а на систему, рассматриваемую в
прямом времени, не действуют, устанавливается равновесное состояние,
описываемое гейзенберговской матрицей плотности (34). Она определяет
средние
<¦••>* (*> = Тг {Ро Й • • • U (х). (26.40)
Здесь мы отметили внешние силы, действующие на систему при t > а,
поскольку эти силы влияют на временную эволюцию усредняемых операторов.
Усредним по правилу (40) оператор
ехр I - J dk [ехр (кЖ0 (а))Еехр (-кЖ0(а))]'К i L [5 ())]. (26.41)
I о ]
Здесь L [В ())] ='Е [В (t), - оо < t < оо ] - некоторое функциональное
операторное выражение, т. е. выражение, определенное
вместе с порядком следования операторов Ва (t). Это значит, что задано
правило, по которому набору некоммутирующих операторов Ва (t) (а и t
пробегают различные значения) ставится в соответствие оператор L. Примеры
такого операторного выражения будут даны ниже. Подставляя (41) в (40),
получим среднее, которое для краткости будем обозначать буквой т:
т = Tr |р0 (а) ехр j- J dk [ехр {кЖй (а)) Е ехр {-кЖа (a))hj L[B ())]j
(26.42)
296
Вследствие (39) это равенство можно записать так:
m = Tr |р0(й)? [В(0]}мт)- (26.43)
В частности, если L [В] = 1, в силу условия нормировки
матрицы
ро (Ь) немедленно получаем т - 1, т. е.
/Г Р
- J dX [ехр (фЖо (а)) Е ехр (-ХЖ0 (а))]
^ехр
= 1. (26.44)
h (Т)
Возвратимся к случаю произвольного L [B(^)j. Стоящую в (43) матрицу р0 ф)
можно интерпретировать как неизменную матрицу гейзенберговского
представления для обратного времени. При этом
операторы Ва (t), точнее, связанные с ними операторы
Ba(t) = EaB*(-t)
(см. (25.54)) следует считать изменяющимися в обратном времени. Последнее
равенство можно записать в виде
Ba{t) = eaBa(-t). (26.45)
Подставляя (45) в (43), будем иметь
т = Тг {р0 ф) L [еВ* (-/)]}Л (х) = Тг {ро ф) L [еВ (-/)]}Л* (t).
(26.46)
Здесь использовано равенство ро ф) = ро ф), т. е. равенство (17.20),
вытекающее из условия временной обратимости (17.18). Вместо t в (46) с
равным успехом можно писать I. Нижний индекс h (т) в (46) указывает
график действующих сил, рассматриваемый в системе координат прямого
времени. Поскольку процесс мыслится текущим в обратном времени,
естественно указать тот же график, но таким, каким он представляется в
системе координат обратного времени. Вследствие первого равенства (11),
которое справедливо и в квантовом случае, вместо h, (т) следует писать eh
(-т). Следовательно, вместо (46) лучше писать равенство
m* = Tr jр0 ф) L [еВ (-?)]}Eft <_t>. (26.47)
Теперь используем условие временной симметрии. При этом условии для
любого операторного выражения М [В (t) ] имеем равенство средних в прямом
и обратном времени:
Тг {р0 ф) М [В (?)]}* {t) = Тг {ро (а) М [В (/)]}fc. <х), (26.48)
если график сил с точки зрения обратного времени в левой части равенства
совпадает с графиком сил, рассматриваемым с точки зрения прямого времени,
в правой части. Аналитически это условие выражается равенством
Я'(*) = /.(*); h'(x) = f(x). (26.49)
297
Подчеркнем, что в (48) входят объективно разные графики сил, которые,
однако, с разных точек зрения представляются одинаково. Тот факт, что
силы разные, мы отметили штрихами: силы в левой части обозначаем Я' (т),
а силы в правой части - Я" (т).
Подберем операторное выражение М [Б (t) ] и график сил Я' (т) так, чтобы
левая часть равенства (48) совпала с выражением в правой части (47). Для
