Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ни в какое сравнение со вторым законом термодинамики в теории равновесных
состояний.
5. Критерии устойчивости стационарных состояний. Другие функции
Ляпунова. Как указывалось выше, вопрос об устойчивости неравновесного
стационарного состояния можно решать, анализируя линеаризованные
уравнения (13). Кроме того, для решения данного вопроса можно
использовать различные виды фукции Ляпунова и формулировать
соответствующие им критерии устойчивости. В предыдущем пункте отмечалось,
что в качестве такой функции можно брать FqK Простейшим примером функции
Ляпунова является сумма J} (6Л7)2 = | 6Л |2. В связи с этим можно
сформули-
7
ровать такой тривальный критерий устойчивости:
Критерий 1. Если |6Л|2 с течением времени не увеличивается, то
стационарное состояние устойчиво.
Несколько более сложным примером функции Ляпунова является функция Ко2).
Критерий 2. Если 1) Fо2) С 0 в окрестности точки А0 и 2) если Ео2) имеет
локальный минимум в этой точке, т. е. если
2) F(a2)(A)>F(a2)(A°) (27.32)
И Р. Л. Стратонович
321
при достаточно малых | 6/11 > 0, то стационарное состояние устойчиво.
Этот критерий уже упоминался в предыдущем пункте. Там отмечалось, что
условие (32) эквивалентно (20). В данном критерии сумма 2 (6Л7)2 заменена
суммой 82F0 - 2j В силу (17)
V У°
производную
d&Fjdt = 2 2 uvMJJo ("Л, = 6Ла) от последней суммы можно записать в виде
d&Fo/dt = 22 bx.fiJ...
у
Следовательно, критерию 2 можно придать такую форму:
1) б2/*'0>0 при 6Л^=0 и 2) 2 bXy&Jy < 0. (27.33)
7
В энтропийном варианте, когда вместо свободной энергии используется
энтропия, критерий 2 описывается равенствами
1) 6250-<0 при и
2) d&So/dt = - 2 6XY6 Jy > 0.
7
В подобном виде критерий устойчивости брался в [11] (разница в том, что
здесь силы определены с другим знаком).
Другая функция Ляпунова берется в следующем критерии: Критерий 3. Если 1)
dxP/dt = 2 5s 0, 2) 2 Jy И) dxy=
У 7
= dQ) (Л), 3) Ф(Л) < Ф (Л°) при достаточно малых | 6Л | > 0, то
стационарное состояние является устойчивым.
Здесь Р = 2*7Jy' как и в § 14. Специфический "дифференциал" dx введен
Глансдорфом и Пригожиным. Как указывалось в § 14, неравенство Ф = 2 Jyxy
^ 0 обусловлено выпуклостью функции F (Л) (в нашем случае F0 (Л)). Вблизи
неравновесного стационарного состояния это равенство выполняется при
условии (20).
Равенство 2 Jydxy - dO означает, что J^Jvdxy есть полный дифференциал.
Это условие заведомо выполняется в-однокомпонентном случае; в
многокомпонентном случае оно выполняется не всегда. Для отыскания функции
Ф, как указывалось в [11], можно использовать интегрирующий множитель е2
(Л), поменяв условие 2) на равенство е2 (Л) J^Jvdxy = dO (Л). Для
использования критерия 3 достаточно потребовать выполнение условия 2)
лишь вблизи стационарной точки, взяв 2 &J7 dbXy вместо 2 Jydxy.
Критерий 3 нетрудно записать также и в энтропийном варианте. Отметим, что
даже в том случае, когда функция Ляпунова Ф (Л), используемая в критерии
3, существует, ниоткуда не следует, что этот критерий имеет преимущества
перед другими критериями.
322
Вопрос о преимуществах того или иного критерия, а также вопрос о
целесообразности их использования (по сравнению с исследованием
линеаризованного уравнения) мы здесь не будем рассматривать. Мы
ограничимся иллюстрацией применения указанных критериев к одному
конкретному примеру (п. 9), когда все три критерия практически
эквивалентны.
6. Пример электрической открытой системы и описывающие ее уравнения.
Рассмотрим для примера электрическую цепь, изображенную на рис. 27.3, а,
которая содержит нелинейное сопротивление, индуктивность L, емкость С и
источник э.д.с. Заменив последний на "резервуар", содержащий
электрический заряд Q', т. е. на
5)
Рис. 27.3
емкость С2, получим "большую закрытую систему" (рис. 27.3, б). В качестве
внутренних параметров и Л2 возьмем "импульс" р = - Ыъ где Д - ток через
индуктивность, и Q2 - заряд на емкости С. Вместо свободной энергии (3) в
данном примере следует рассматривать энергию "большой системы"
Р2.. , "2 , (QT
2L 1 2С 2С2 '
Дифференцируя это выражение по формуле (4) при учете равенства dQ' = -
dQ2, соответствующего равенству (5), получаем
х1 = dW/dp = p!L = / j.,
х2 = dW/dQt = Q2/C - Q'/C2 = Q2/C - /i2. (27.34)
"Большая система", как легко получить, описывается уравнениями Li1 + Q2/C
= Q7C2; g (/2 - Д) + Q2/C = Q'/C*. (27.35)
где g (/) = V - вольт-амперная характеристика нелинейного элемента.
Разрешая второе уравнение (35) относительно /2 = Q2 и учитывая (34),
получаем уравнения в приведенной форме
р = QJC -f- ^2 = -^2>
4 = p/L +f (As - Qs/Q = X, + / (-x2). (27.36)
Здесь f (У) - функция, обратная g (I). Данные уравнения являются примером
уравнений (8) или^(9).
11* " 323
Второе равенство (35), интерпретируя 1г как внешний ток /ех, можно
записать так:
/г.. = g (/ех 1г) Q2/C.
Подставляя это равенство в первое уравнение (36), получаем
P = g(lex-P/L), Q2 = r. (27.37)
Эти уравнения являются частным случаем уравнений (1). В данном случае
