Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
привести к виду
^1, 2 + У 1,1 = Ф (Pi) У12*
Вследствие легко проверяемого равенства Ф (р) = Р [0+ (р) ]-1 это
соотношение совпадает с (17.62).
Далее, дифференцируя (56) по hly /г2, h3 и полагая h (t) = 0, при учете
(58) и (59) будем иметь
Р(123) {-У1, гз Ф(р0 (Ju -\~ 6/3/6/12)} =
= Ф(Р1. Рг) ^123 + Ф(Р2, Pi) ^213* (26.62)
Здесь использовано (61) и равенство типа (25.42) при п = 3. Полученное
соотношение (62) служит квантовым обобщением ФДС (28). Используя (16.37),
нетрудно получить
(J1 бJ2/6/13)0 = - (г/грз) 1 (A [Jг. Jз])о "П (/гз) -
= - (/ЙРз) 1 (У 123 - У иг) Л (/гз)*
Поэтому из (62) можно вывести соотношение, затрагивающее только функции Y
1,2з и К123 и не обусловленное временной обратимостью.
10. Квазиклассическое производящее равенство. Рассмотрим интеграл
j v (/) J (t) dt.
Вследствие (33) справедливо равенство
Тг ехр
-pi^0 (а)-р \ h(t)J(t)dt + F
(26.63)
= Trexp[-p^0 (b) + F\.
Учитывая (34) и (35), его можно записать в виде
Тг ро (а) ехр фЖ0 (а)] ехр
-Р^0(а)-Р j h (/)?(/) dt + F
= Tr {po (b) exp [р<Ж0 (b)] exp [-pa?0 (b) + F]|. (26.64)
Будем предполагать, что входящие в (63) и (64) гейзенберговские операторы
Ja (/) эволюционируют во времени в соответствии с действующими внешними
силами h (/). Тогда выражение, стоящее в левой части (64), представляет
собой среднее типа (40), т. е. его можно записать так:
b ь
ехр [Р^о (а)] ехр
-pi^o (а) - Р j h (/) J (/) dt + j v(t)J{t)dt
h (T)
301
Если ввести функционал
/ Г ь
? [v (0, h (0] - ( ехр [ф0 (а)] ехр, -ф0 (а) + { о (t) J (t) dt , ,
\ L а J / Л <т)
(26.65)
то это выражение есть не что иное, как
? \v (0 - p/i {t), h (01. (26.66)
Теперь обратимся к правой части равенства (64). Будем трактовать матрицу
ра (b) как гейзенберговскую матрицу плотности, соответствующую процессам,
текущим в обратном времени. При этом входящий в правую часть (64)
оператор (63) нужно преобразовать, подставив в него равенство Ja (t) = -
EaJa (-t) типа (45). Это дает
Ь ^ -а ~
F = - J va (t) bJz (-t) dt - - [ eaVa (-~t) Ja{t)dt, (26.67)
a -,b
где сделана замена переменной интегрирования. Подставляя (67) в правую
часть (64), получим, выражение
-а
Тг ро (Ь) ехр [pi^0 ф)) ехр \-фё^ф) - J ваиа (--7) 7r* ('t)dl
( -6 J le/i(-т)
(26.68)
Здесь выписаны действующие силы такими, какими они представляются в
системе координат обратного времени.
Формуле (65) в обратном времени соответствует формула
?["(?), Я (2)] =
1
= Тг ро ф) ехр [$Ж0 ф)] ехр
-ФоФ) + J 7(7)7 (t) dt
-ь
)h (г)
(26.69)
причем при наличии временной обратимости и при а = -¦b функционал ? [¦, ¦
1 в (65) и (69) один и тот же. Учитывая (69), легко понять, что выражение
(68) можно записать в виде
?[-ео(-0, ей (-2)1*. (26.70)
Стоящая вверху звездочка, обозначающая комплексное сопряжение, возникла
вследствие комплексного сопряжения в (67). Ее можно снять, поскольку
функционал (65) является действительным. В самом деле, в силу (40) и (34)
находим
? [v (t), h (<)] = С0 Тг { ехр [~ф0 (а) + J о (f) J (t) dt] }.
Действительность следа вытекает из эрмитовости стоящих в экспоненте
операторов.
Поскольку выражения1 (66) и (70) равны в силу (64), имеем
? [v (t) - pft (t), h (2)) = ? [-ev (-t), eh (-2)1. (26.71)
302
Здесь можно перейти к пределу а ->¦-оо, ь^тоо. Это равенство можно
назвать квазиклассическим производящим равенством, поскольку по своей
форме оно совпадает с неквантовым равенством (16). Функционал (65) есть
квазиклассический характеристический функционал. Если разложение
неквантового функционала (6) по формуле
дает моменты {J\ ... Jn)h (%), то аналогичное разложение
определяет функции, которые можно назвать квазиклассическими моментами.
Существенно, что производные по силам A (t) от этих функций, а также от
связанных с ними обычным образом квази-классических корреляторов
удовлетворяют в силу (71) обычным неквантовым соотношениям, которые можно
получить из (16).
11. Производные от квазиклассических моментов и корреляторов. Используя
(63), равенство (65) можно записать в виде
Здесь мы учли, что индекс А (т) в (65) указывает, как совершается
эволюция гейзенберговских операторов, среднее же вычисляется с
равновесной матрицей плотности (34) и является равновесным. Поэтому А мы
отнесли к оператору F. Принимая во внимание формулу
которая аналогична (38), равенство (73) приведем к форме
Разложим входящую сюда экспоненту в ряд Тейлора, а степени
где операторы упорядочены в соответствии с величиной % (чем больше к, тем
левее стоит помеченный индексом к оператор), представим по аналогии с
(25.39) в виде
сю
0 [v (t), A (i)] = ^-jr (A • ¦ ¦ 4)мч vi-..vn
OO
,K " [A (*)] vi . . . vn
(26.72)
T1 [v (t), h (*)] = (exp [$Ж0 (a)] exp [-(a) + F [A]])0. (26.73)
exp фЖо) exp (-|Wo -|- F [A]) -
W [v (t), A (/)] = krfdk [exp (Ш0) F [A] exp (-k3%0))x
(26.74)
n-i
dkn ([exp (ki^e0) F [A] exp (-кхЖ0)] x ...
... X [exp (кп2ё0) F [A] exp (-кп3ё0)])0.
0
0
0
303
Подставляя сюда (63) и производя суммирование подобных выражений в
