Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
этого необходимы равенства
М [В (f)] = L [еВ (-*)], Я' (т) = еЯ (-т).
В соответствии с (49) имеем
/ (т) = еЯ (-т) и Я" (т) = еЛ (- т).
При таких силах и таком функциональном выражении М [В ] к (47) можно
применить равенство (48), что дает
т = Тг |р0 (a) L [еВ (-()]} *Л <_т). (26.50)
Здесь, как и в (42), усреднение проводится с матрицей плотности р0 (а).
Из (42) и (50), используя (40), получаем окончательное равенство
^ ехр
Р
| dX (ехр (ХЖ0) Е ехр (-ХЖ0))К
L [В (0) .
h (т)
= (L [еВ (-t)\)th (-х). (26.51)
конкретизируя операторное выражение L [В], можно различные частные случаи
квантовых производящих
Из него, получить равенств.
8. Несколько конкретных производящих равенств. Рассмотрим несколько
частных случаев операторного выражения L [В].
а) Зададимся моментами времени Я>, in, а также индексами а,, ...,"" и
положим
L [В] = Ваг (tl) Ва2 {к) • • • Вап (tn).
Подставляя этот частный вид операторного выражения в (51), получаем
/ I Р j
¦ | dX (ехр (ХЖ0) Е ехр (-ХЖ0))К о
^ехр
Bctj (^l) • • • Ban(tn)
h (t)
= Ba
ean(Ban( in) ¦ ¦ • Btt(( (26.52)
Здесь в правой части мы использовали (25.45). Равенство (52) можно
назвать неполным производящим равенством, так как, в отличие от (16), оно
связывает выражения, зависящие лишь от функции h (t) и не зависящие от v
(t).
б) Теперь возьмем операторное выражение
L [В (t)] = ехр
(26.53)
298
Подставляя его в (51) и учитывая, что
ОО оо
J va (t) гаВа Ы) dt = J SbVa (~t') Ba (t')dt',
будем иметь
^exp
- j dX (exp (ko@0) E exp (-2^0))x e*P [ j v (t) В (t) dt\
о J
= (exp [ j eu(-it) В (t) dt])eh {_x). (26.54)
h (T)
Комплексное сопряжение в правой части опущено, так как оператор (53)
эрмитов при действительной функции v (t) и поэтому среднее в правой части
действительно.
Вместо (53) можно было бы взять экспоненту с другим упорядочением,
скажем, экспоненту ехр, упорядоченную по времени. При этом в правой части
равенства (54) будет стоять экспонента
ехр с противоположным упорядочением,
в) Если взять операторное выражение
L [В (^)] = ехр
j v(t)B (t) dt
то из (51) получим производящее равенство
- J dk (ехр (Я<3^о) Е ехр (-КЖ0))х ехр | j v(t)J(t)dt j
^exp
: ^ exp [- | ev (-t) J (t) dt] )
Eh (-T) '
A(T)
(26.55)
являющееся квантовым обобщением равенства (16).
9. Простейшие применения одного из квантовых производящих равенств.
Полученные выше квантовые производящие равенства (52) (взятое при
различных п, tu ..., tn, аи ..., ап), (54), (55) в принципе можно
использовать для получения всевозможных квантовых линейных и нелинейных
ФДС. Однако сделать это непросто вследствие громоздких выкладок. Поэтому
в §§ 17 и 18 для данной цели были применены другие методы. Здесь нам нет
надобности дублировать вывод ФДС. Ограничимся тем, что приведем лишь
простейшие след-' ствия из наиболее простого из выведенных равенств, а
именно - производящего равенства (44), справедливость которого не
ограничена условием временной обратимости.
Разлагая экспоненту в (44) в ряд Тейлора и совершая преобразования типа
преобразования от (25.35) к (25.37), что связано
299
с учетом упорядочения операторов по к, будем иметь О = - | dk (ехр (кЖ0)
(E)h (т) ехр (-кЖ0))0 4* о
§ h
+ j dkx j dk2(exp(k^0)(E)h(x) ехр((Х2 - А,1)^0](?)Л(т)ехр (-%2Ж0))0-
о о
3 kf
j dkt j dk 2 J dka ooo
(exp (k^o) (E)h exp [(X2 - Xi) Ж0] (E)h x
X exp [(Я,3 - Я,2) Зво] (Д)л exp (-к3Ж0))0 -|- . . . (26.56)
Здесь индекс h = h (т) мы пишем вблизи E, поскольку этот индекс
указывает, как изменяются входящие в
оо
Е= J Ja(t)ha(t)dt (26.57)
-оо
операторы Ja (t) и чему равны входящие сюда фукции ha (/). Усреднение же
проводится с матрицей плотности р0 (а) и, следовательно, берутся
равновесные средние.
Подставляя (57) и (56), продифференцируем равенство (56) вариационно
несколько раз по h (t) и после этого положим h (t) = 0. При этом следует
использовать равенства
б (E)h ( т if бУа (t) ,
~EhT- ~ V1 + J -Щ-ЫЩн'
б° (E)h / б д , б jt , г 6v"(Q ,
бЛгбЙ! ~ \ 6Л2 1 6hj. "П 6M*2 И T' Д-
После того, как мы положим h (t) = 0, останутся равновесные средние типа
(C'D' ... Z')0, где С', D', ... имеют вид
D' - ехр (ka^0)D(t1, ..., Д)ехр(-кЖ0) и т. п.
По аналогии с (25.30) имеем
ехр (кЖо) D (ti, . . ., tk) ехр (-кЖ0) = D (Д - ihk, .. ., th - ifik) = =
exp [-ihk (Pi+...+ /?*)] D (Д, . . ., /ft). (26.59)
Дифференцируя (56) no hx и в нулевой точке h (t) = 0, при помощи (58) и
(59) получим
Р i/6/i2)o Р a/^i)o -)- Ф (ръ /72) (J 1J2)о -f-
-фФ(/72, p\)(JiJx) = Q. (26.60)
Здесь мы использовали обозначение (25.38). В силу равенства (Jx) = = 0
можно в (60) вместо момента (JiJ^o писать коррелятор У12 = = (J 1, 72)0.
Учитывая второе равенство (25.40), задающее Ф (рл, р?), нетрудно
проверить, что справедливо равенство
ф (Р> -Р) + ф (-Р, Р) ехр (-i-Щр) = РФ (р), (26.61)
300
й&ляющееся частным случаем (П8.1). Поэтому по аналогии с (25.42) имеем
Ф (Pl< Pi) V'u + Ф ("Pi" Pi) ^21 = РФ (Pi) У 12'
Используя это равенство, а также (16.8), соотношение (60) можно
