Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
/>(«) = (1.75)
Полный статистический вес нормирован на единицу:
?/>(«) = 1. а
Введем теперь проекционный оператор
п - IxXxI (1-76)
Свое название он получил из-за того, что его воздействие на произвольную волновую функцию \ф) сводится к выделению компоненты Іі/<) в направлении їх) в гильбертовом пространстве
П|*> = <xl*>lx>- (1-77)
Здесь 1х> предполагается нормированным на единицу. Тогда очевидно, что
П2 = IxXxIxXxl = П. (1.78)
Таким образом,многократное воздействие проекционного оператора не изменяет результат (1.77). Если состояние описывается волновой функцией I ф), то вероятность при измерении найти частицу в состоянии Ix) дается выражением
= I(^Ix)I2, (1.79)
т. е. среднее значение оператора П определяет вероятность заселенности состояния 1х>. Применяя (1.69) при А = П, находим
<п> = Spnp-1 <<рл|хХхИ<рй>
я
= ?<хИ<р„Х<рл1х> = (XlPlX) • (1.80) •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
37
Таким образом, если ансамбль описывается матрицей плотности р, то ее диагональный матричный элемент <х1/з'х) определяет вероятность найти систему в состоянии 1х>.
Воспользуемся теперь представлением р в виде (1.74) и поставим вопрос: какова вероятность найти систему в состоянии т. е. в одном из состояний, использованных для определения матрицы плотности? В общем виде
(1.81)
Поэтому, в тех случаях когда состояния I ф^) между собой неортогональны, нет простой связи между вероятностью и величинами Р(а). Если же выбранные li/-<">> ортогональны, то
<*<"W>> = J»(jB). (1.82)
Таким образом, величины Р(а) могут рассматриваться как вероятности только в том случае, когда состояния I ф(а) > ортогональны. В противном случае Р(а) служат лишь формальными статвесами векторов I ф("]), использованных для определения р.
Пример В эксперименте мы имеем дело с ансамблями, содержащими огромное число частиц. Здесь же мы рассмотрим отчасти искусственный пример, который, однако, иллюстрирует общие сформулированные утверждения. Возьмем ансамбль, состоящий всего из трех двухуровневых частиц. Предположим, что их волновые функции следующие:
\Ф(1)) = —
' v/2
_1_ /2
1*,3)> =
1
/То
Тогда матрица плотности имеет вид
(1.83)
(1.84)
--[" 7I
30 L 7 19J
Поскольку IilM") = li/-<2)>, первые два слагаемых в сумме (1.84) можно объединить (при этом статистический вес будет равен 2). Однако вероятность при измерении обнаружить систему в состоянии (1Л'2)[1, 1] не равна 2/3, так как третье состояние І ф(і)) не 38
ГЛАВА 1
ортогонально первым двум. Если правильно вычислять эту вероятность, то
<*«w>>=^11,.]^'; ,Ml-S- <ш)
Вероятность найти систему в состоянии I + > = [1, 0] можно получить двумя способами. Во-первых, это просто матричный элемент /о,, в (1.84). А во-вторых, можно ввести проекционный оператор на состояние I + >
П
-№-°>-[J 2] <,8б>
и непосредственные вычисления приведут, естественно, к тому же результату
(П) = Tr Пр = зо = ( + IpI + )• (1-87)
Мы ввели матрицу плотности, рассматривая ансамбль частиц, каждая из которых находилась в определенном состоянии \ф), т.е. в так называемом чистом состоянии. Весь же ансамбль находится в смешанном состоянии, для которого можно усмотреть непосредственную аналогию с функцией распределения в классической статистической механике. При этом гильбертово пространство соответствует фазовому пространству в классической физике (см. рис. 1.8). Однако можно показать, что описание с помощью матрицы плотности — самый общий метод рассмотрения одной частицы, провзаимодействовавшей с другой физической системой (со «всей остальной вселенной»). Если вселенная описывается полным набором состояний >|, то полная волновая функция после взаимодействия есть
І*> = 2Хі%Жм>' (1-88)
лц
так как набор векторов I <рп > I ?и. > образует базис в пространстве «частица -I- все остальное». Матрица плотности частицы есть
P = №><*!. (1.89)
где никакое усреднение пока не проводится. Система находится в «чистом состоянии». Это следует уже из того, что р есть проекционный оператор, т. е. удовлетворяет условию
P2 = P, (1.90) •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
39
а оно выполнимо только в том случае, когда р определяется без статистического перемешивания состояний.
Во многих случаях нас интересуют лишь свойства подсистемы, базис которой I(рп). При этом совершенно не важно, какие изменения произошли в остальном мире, базис которого —Iffi). В случае классической статистики это соответствует маргинальному распределению вероятностей по п1К
Вероятность нахождения полной системы в состоянии (п, /л) определяется как
= IcJ2' (1-91)
Если же распределение вероятностей по ? несущественно, то нужно просуммировать (1.91) по ц. Тогда вероятность нахождения подсистемы в состоянии >рп дается выражением
<%|?<УРМ%>-DQ1J2. (1-92)
м с
Можно определить редуцированную матрицу плотности
р = L(?>IQ = LI<P„)XXQ^J. (1.93)
M пп' р
Этот оператор действует в гильбертовом пространстве частицы, имеющем базис 1<р„). Чтобы представить р в виде, аналогичном матрице плотности (1.74), воспользуемся понятием ансамбля частиц. Для этого формально определим состояние
