Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
1Lcnli |%>
1м) = "-(1.94)
LiqmI
Заметим, что знаменатель здесь необходим для нормировки состояний І/і), так как из (1.88) имеем для коэффициентов Cnii условие
<*!*> = LlQJ2 = I- (1.95)
лц
" В математической статистике маргинальное (частное) распределение определяет вероятность реализации лишь некоторых параметров системы независимо от значений всех лругих параметров. — Прим. перев. 40
ГЛАВА 1
Вероятность измерения квантового числа ц в состоянии есть
JtOO-I ICJ2. (1.96)
ft
Теперь мы можем переписать (1.93) в виде Р = ІІСп>й)(<рп,|СД
? пп'
= Vp(u)-2-?-
7 W IlCnJ2
п
= ІИ*Ч>0<И- (1.97)
Мы получили требуемый результат — редуцированная матрица плотности наблюдаемой частицы в ненаблюдаемой вселенной может быть записана в виде усредненной по ансамблю матрицы плотности (1.74). Каждая из частиц такого фиктивного ансамбля находится в одном из чистых состояний (1.94), которые представляют собой нормированные проекции \ф) на векторы Статистический вес каждого состояния 1/*> определяется величиной Р(р), т. е., согласно (1.96), квантовомеханической вероятностью наблюдения в состоянии Так самым естественным образом квантовая механика позволяет перейти к понятию ансамбля частиц; при этом ненаблюдаемые степени свободы определяют те состояния І /і>, которые могут быть реализованы в малой подсистеме.
Пусть оператор А действует только на состояния подсистемы I(рп). Тогда средние значения этого оператора в состоянии (1.88) можно записать в виде
(А) = <*иі*> = I Icn/;v<^|<pn,><g^>
п'п n'fi
= I^--IQV;, = Sp^p,
где мы использовали определение (1.93). Таким образом, если оператор А зависит только от внутренних переменных, то, чтобы найти его среднее значение, достаточно знать редуцирован- •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
41
иую матрицу плотности р , которая полностью определяет со-схояние подсистемы.
Отметим то обстоятельство, что оператор р не соответствует, вообще говоря, никакому чистому состоянию , которое можно было бы представить в виде суперпозиции состояний \<р„). В то же время, если рассматривать полный базис 1<рп) состояние \ф) (1.88) является чистым.
1.5. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
Описание временной эволюции в квантовой механике зависит от выбора представления. В частности, в представлении Гейзенберга от времени зависят операторы наблюдаемых величин. Так как матрица плотности определяется амплитудами состояний, она зависит от времени в представлении Шредингера. Уравнение, определяющее эту зависимость, легко получить из уравнения Шредингера, если его записать в виде (1.50). Используя определение (1.70), для матричных элементов матрицы плотности получаем
* jtcncn* = ihcn*jc, + ihcn,ftc;
= L(HnmCmCn* - сп.с:нтп) - ih\{у„. + Y„)С„'С*.
(1.98)
Это уравнение справедливо для одной частицы. Предположим теперь, что рассматривается ансамбль, каждая из частиц которого описывается одним и тем же гамильтонианом H и одинаковыми распадными ширинами у. Тогда уравнение (1.98) легко усредняется по ансамблю, причем произведение амплитуд переходит в матричные элементы р. Релаксационная матрица Г определяется выражением
<%|Г|%,> = YAm- О-99)
Тогда сразу запишем искомые уравнения в операторном виде
ihjtp = [Н, р] - ih\{Yp + рТ). (1.100)
В разд. 1.6 мы еще вернемся к обсуждению более сложных релаксационных процессов, изменяющих вид уравнения для р. 42
ГЛАВА 1
Обсудим теперь более подробно связь матрицы плотности с наблюдаемыми величинами физической системы. Так как средние значения операторов определяются квадратичными формами амплитуд состояний (1.65), они должны быть линейными функциями матричных элементов рп,п (1.69).
Диагональный матричный элемент pnn(t) в любом представлении определяет вероятность заселения состояния I<рп), которое описывается квантовым числом п (см. 1.80). Эта вероятность изменяется со временем, так как эволюция системы приводит к изменению всех наблюдаемых величин. Предполагается, что в идеальном (мысленном) эксперименте мы можем произвести измерение сколь угодно быстро.
Аналогично мы можем вычислить и средние значения других наблюдаемых операторов. Например, дипольный оператор, входящий во взаимодействие (1.59), имеет среднее значение
<ц> = Sp(erp) = е2>|г| «>„-„• (1.101)
пп'
В это среднее дают вклад только те матричные элементы <л1г1л'>, для которых состояния п и п' удовлетворяют диполь-ным правилам отбора (1.61) — (1.63). Именно в таком смысле нужно понимать часто употребляемое выражение, что эти матричные элементы есть дипольный момент атома.
Пример. Рассмотрим двухуровневую систему (рис. 1.9). Пусть матричный элемент < 1 \г 12) не равен нулю, а матрица плотности имеет вид
Pu Pu .Pl2 Pll.
Диагональные матричные элементы рп и р22 определяют соответственно заселенность уровней 1 и 2. Умножив ри на полное число атомов N, мы получим число атомов на уровнях 1 и 2 в ансамбле. Среднее значение дипольного момента есть (ц) = (er) = е(г12р21 + г21р12)
P =
(1.102)
2e(Re /¦12 Rep21 - Im гп\т р21). (1.103)
