Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
V2<p=-~, (1.11)
" В релятивистских задачах удобнее пользоваться лоренцевой калибровкой •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
17
Отсюда получаем закон Кулона для потенциала неподвижных зарядов. В результате электромагнитного взаимодействия из заряженных частиц образуются нейтральные — главные объекты спектроскопии. Обобщений, связанных с наличием ионов, мы рассматривать не будем. В квантовой химии образование атомов и молекул рассматривается на основе потенциалов, представляющих собой решения уравнения (1.11) для системы точечных зарядов qt, имеющих координаты Xj. При этом плотность зарядов есть p(r) = ?(.<7(.5(г — г,). Решение для статического потенциала хорошо известно:
Исключив из уравнений Максвелла вклад этого потенциала, для полей излучения имеем
V-E = O, V-B = O. (1.13)
Поля, всюду удовлетворяющие условию (1.13), называются поперечными.
В задачах спектроскопии электромагнитное поле, приводящее к образованию нейтральных частиц, и поле излучения, вызывающее переходы между внутренними состояниями, удобно разделить. Недостаток этого приема состоит в нарушении релятивистской инвариантности — он применим лишь в выделенной, лабораторной, системе координат. Но энергии связи обычно столь малы, что у нас никогда не возникнет необходимости рассматривать релятивистские эффекты.
Из уравнений (1.1) и (1.2) с учетом (1.5) и (1.6) получаем
V X(VXE)= -V2E= -М0^(Р + е0Е)-, (1.14)
at
здесь мы использовали и (1.13). Получено уравнение, описывающее волну, распространяющуюся со скоростью с — (е0м0)~1/2 и в то же время имеющую источник — осциллирующий дипольный момент Р.
Рассмотрим точечный осциллирующий диполь
P = <?xO(r), (1.15)
находящийся в начале координат. Излучение, наблюдаемое в направлении п, вызывается лишь поперечной компонентой Р, т. е.
2—504 18
ГЛАВА 1
Р±=9[х-Й(Й-Х)]8(Г)
= -q[tk X(ft X x)]5(r). (1.16)
Поле излучения на больших расстояниях R в момент времени ! определяется как
E(R, (1.17)
477і К
где, с учетом задержки, X вычисляется в момент времени t — R/с. Выражение (1.17) является решением (1.14) с источником (1.15). Магнитное поле определяется как
"=-4^- С-»)
Плотность потока энергии, т. е. вектор Пойнтинга, имеет вид
S = EXH
"2
(ft X х) ft. (1.19)
(4тг)2е0с3Я2
Отсюда видно, что дипольное излучение направлено по П и имеет интенсивность, пропорциональную (n X х)2ос sin2 в, где в — угол между п и X . Легко определить полную излучаемую
мощность
W = fs -da = ^f12 f Sin2 6R2d<pdcos в } (4тO2CR2
і V1..
4тге0 Зс2
x
2
(1.20)
Это легко запоминающаяся формула (двойки наверху, тройки внизу) для осциллирующего диполя1'.
Для решения (1.14) в объеме заданной формы введем собственные функции, т. е. решения уравнений
V2U„(r) + k2U„(r) = 0, (1.21)
'' Мы выделили множитель \/Airc0, который нужно заменить единицей в гауссовой системе единиц. •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
19
,T 'г з • (1-24)
и граничные условия, определяемые рассматриваемой системой. Функции Un называют собственными функциями резонатора. Их можно выбрать поперечными, т. е.
V-Un = O. (1.22)
Собственные функции образуют базис в пространстве векторных функций, определенных в выбранном резонаторе. В частности, мы можем разложить электрическое поле
E(r, O = EEff(OlUr), (1.23)
п
где коэффициенты разложения, амплитуды EJt), находятся из условия ортогональности
/^3rE(r, Q • U„(r)
/[4.(0] V
Если собственные функции нормированы на единицу, знаменатель в (1.24) можно опустить.
Для пустого резонатора, когда P = O, уравнение (1.14) для EJt) дает
-EJt) +H2EJt) = 0, (1.25)
где угловая частота определена как
Qn = ф„|. (1.26)
Мы будем всюду использовать термин «частота» именно для угловой частоты.
Если б не было потерь, поле EJt) осциллировало бы без затухания. Если же для поля существует характерное время затухания т, то феноменологически это можно учесть следующим образом:
EJt) = Ejti)e±'a"'e~t/'2r. (1.27)
Отсюда получаем уравнение
И2 iu 1
^En = -H2nEJt) + -fEjt) + Y1EJt). (1.28)
dt1 т 4т
Если затухание мало, т. е. добротность осциллятора
Qn = ^ = 0„т (1.29) 20
ГЛАВА 1
велика, то (1.28) эквивалентно уравнению
^(0 + -^(0 + 0^(0-0. (1.30)
Член, описывающий потери, — лишь малая поправка, поэтому можно предположить, что допустимо феноменологическое обобщение , изначальных уравнений. Для этого в (1.14) нужно подставить член, содержащий (1 /т)(д/дт). При сильном затухании это приближение неприменимо.
Каковы дополнительные граничные условия — во многих случаях несущественно. Поэтому решение (1.21) удобно выбрать в виде плоских волн, нормированных в ящике объемом V. При этом Un имеет вид
Vn(T) = ^e*-'. (1.31)
Векторы «(Ал) определяют два перпендикулярных направления поляризации, удовлетворяющие условию поперечности
е(Хя)-кя = 0. (1.32)
Если потребовать выполнения периодических граничных условий, то векторы кл могут иметь лишь значения
где Lx, Ly, Lz — размеры ящика, а пх, пу, пг — целые числа.
