Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Для микроволнового излучения такое рассмотрение неформально: ящиком может быть реальный металлический резонатор. Для идеального металла поле не может иметь тангенциальных компонент на поверхности, так как это вызвало бы появление тока. Если ящик имеет прямоугольное стенки, расположенные так, как показано на рис. 1.1, то для собственных функций легко найти следующее:
Ux(x, у, z) = Axcosj-nxxsinj-nyysmj-n,z , (1-34)
Lx у Lz
U(x, у, z) = Aysin-j-nxxcos-^-n ysin^-n2z, (1.35)
Lx Ly bZ
Uz(x, y, z) = Л zsixi~~~ n Xx s\xi~j~~n vy cos "7""HzZ. (1.36)
L„ Lr •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
21
РИС. 1.1. Схема резонатора с прямоугольными металлическими стенками. Размеры сторон /. и I . соответственно. Собственные моды определяются векторными функциями U(r), которые находятся из условия равенства нулю тангенциальных составляющих поля на граничных поверхностях.
Непосредственная подстановка показывает, что граничные условия удовлетворяются
Ux(x,0,z) = Ux(x,Ly,z) = 0, (1.37)
U,(x,Q,z) = Ut(x,Ly,z) = 0
(1.38)
и аналогично для всех остальных поверхностей. При таком выборе решения нормальные составляющие не исчезают. Волновые векторы имеют вид
. і TT TT TT
(1.39)
Существование условия поперечности (1.22) эквивалентно наличию одног о соотношения между компонентами вектора А = (Ajf, А , А)
у і
А • k„ = тт [А
yL,,
Л -1=0.
(1.40)
В резонаторах более сложной формы собственные функции не 22
ГЛАВА 1
такие простые, как (1.34) — (1.36), но принцип их определения тот же.
Если один из размеров ящика, например Lz, устремить к бесконечности, то в этом направлении граничные условия не накладывают. Решение преобразуется в экспоненту exp(ikzz) и резонатор превращается в волновод. Такие устройства часто применяются в микроволновых системах.
В микроволновых генераторах и усилителях (мазерах) металлические резонаторы используют как резонансный контур. Но длина волны в оптическом диапазоне столь мала, что замкнутые металлические резонаторы использовать нельзя. Оптический генератор (лазер) стал возможен, когда в качестве резонатора догадались использовать интерферометр Фабри — Перо.
Условие резонанса в плоскопараллельном интерферометре Фабри — Перо (рис. 1.2, а) заключается в том, что после про-
(а)
РИС. 1.2. а — Идеальный резонатор Фабри — Перо с плоскими зеркалами. Волна повторяет сама себя после полного прохода расстояния 2L. б — Реальный резонатор Фабри — Перо (обычно со сферическими зеркалами). Распределение интенсивности поля в поперечном направлении — гауссовское. Величина перетяжки луча а определяется поперечным размером области максимальной фокусировки. •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
23
хождения волны в одном и в другом направлениях фаза не должна изменяться. Отсюда получаем IkL = 2жп, т. е. на длине резонатора должно укладываться целое число полуволн
L = n^, (1.41)
а частоты определяются соотношением
?„ = f«. (1-42)
Здесь мы учли, что к = 2ж/Х.
Для исключения дифракционных потерь нужен плоскопараллельный резонатор с бесконечными поперечными размерами. Энергию поля можно аккумулировать во внутренней области, если зеркала сделать фокусирующими. При этом поле основной моды имеет гауссово распределение в поперечном направлении и фокусируется в область каустики радиуса а в резонаторе (рис. 1.2, б). Здесь поперечное распределение определяется как
Е(г) а е-г1/а\ (1.43)
Поперечные моды высшего порядка имеют более сложное поперечное распределение амплитуды поля (см., например, рис. 1.3). В большинстве случаев ниже мы будем рассматривать близкую к оси резонатора область г < а, где зависимостью (1.43) можно пренебречь, считая поле однородным. Таким образом, будем считать, что моды (собственные функции) резонатора имеют вид
Un(z)= ^sinknZ, (1.44)
где кп = йп/с. Кроме того, для поля возможны два направления поляризации. Какая-либо одна из поляризаций лазерного излучения может быть выделена с помощью окон Брюстера или поляризаторов.
Введение в резонатор пассивной поглощающей среды, однородной по объему, приводит к релаксации (см. диссипативный член в (1.30)). Даже потери на металлических стенках могут быть приближенно описаны одним параметром т. Это же время включает в себя характеристики зеркал (для лазеров) — пропускание и дифракционные потери за счет конечности радиуса. По- 24
ГЛАВА 1
РИС. 1.3. Поперечные моды оптического резонатора имеют в распределении интенсивности один, два или более максимумов в перпендикулярном оси сечении.
тери зависят от модовой структуры. У поперечных мод большего порядка значительная доля энергии сконцентрирована дальше от оси резонатора, при этом увеличиваются и потери. Поэтому часто бывает удобно определить релаксационные параметры тп отдельно для каждой из мод. Более детальный анализ этого вопроса можно найти в работах, перечисленных в заключительном разделе этой главы.
1.3. КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ ВЕЩЕСТВА
Мы рассматриваем воздействие лазерного излучения на среду, состоящую из атомов и молекул. Их спектр содержит и дискретные значения, соответствующие связанным состояниям, и энергетический континуум свободных ионных состояний (рис. 1.4). Соответствующие волновые функции получаются при решении стационарного уравнения Шредингера с кулоновским потенциа- •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
