Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
57
механизмов фазовой релаксации атомной системы. Более подробно мы обсудим этот вопрос в гл. 5.
Экспоненциальный распад приводит к лоренцевской форме спектральной линии. На крыле, при больших отстройках от центра, лоренциан спадает как ш~2. Отсюда, в частности, следует, что у спектра не существует второго момента. В реальных физических системах должен существовать некоторый механизм, «обрезающий» крыло лоренциана. Для того чтобы увидеть, как это происходит в конкретном случае, рассмотрим более детальную по сравнению с простой диффузией (1.132) модель броуновского движения фазы <р. Пусть уравнение для фазы имеет вид
<р = -кф + F(t). (1.145)
Здесь к — скорость затухания, a F(t) — случайная сила, коррелятор которой есть
(F(t)F(t')) = 2DS(t - Ґ). (1.146)
В этой модели есть два параметра. Один из них — корреляционное время к-1. Мы более подробно обсудим вопросы флуктуаций в разд. 5.1, где покажем, что
<ф(0ф(Ґ)) = ?е-Ч'-'\ (1.147)
Другой параметр, D, является мерой мощности случайной силы. Чтобы получить диффузионный процесс с не зависящим от частоты шумом (белым шумом), нужно устремить к к бесконечности, но так, чтобы величина D/к2 оставалась фиксированной.
Из рассмотренной модели следует уравнение Фоккера — Планка для функции распределения f(<p, t), определяющей вероятность реализации значения ф в момент времени t. Имеем
%-щ M] + DU- (1Л48)
Выбрав начальные условия
f(<p, t = 0) = S(<p - <р0), (1.149)58
ГЛАВА 1
получаем решение1*
/(Ф,0 =
Jbrr а(г)
ехр
(Ф - m(t)) 2 o2(t)
где
m(t) = Фо*
a2(0 = f[l-e"2"'].
(1.150)
(1.151)
(1.152)
Усредняя недиагональный элемент матрицы плотности (1.144), находим
р21осе'Х'> = ехрЖ')
= Iim П«'ф('')=1»тП«~ (,у)/2
/V-»ao у = о у = 0
= ехр
= ехр
І <у«и-
(1.153)
где для вычисления среднего от е'«5 мы использовали (1.150) и (1.152).
Исследуем предельные случаи решения (1.153).
1. Для малых времен (кі < 1):
J^cc ехр[-?>Г2/2].
(1.154)
Спектр, получаемый преобразованием Фурье, имеет гауссову форму
(1.155)
" Результат получен в работе Чандрасекара, опубликованной в сборнике Wax N., Ed., Selected Papers on Noise and Stochastic Processes, Dover, New York, Sec. 1.•ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
59
Оценка (1.154) верна лишь при малых временах, и спектр имеет асимптотику (1.155) только для больших частот ш, т. е. лоренци-ан действительно обрезается. Частотная граница такого обрезания при любом механизме уширения определяется обратным корреляционным временем к. Это справедливо и для формы линии в поле с флуктуирующей фазой, и для столкновительного уширения, когда корреляционное время имеет порядок длительности одного столкновения.
2. Для больших времен (nt > 1):
P2I ОС ехр
—it - — 2к \ 2к
= е
Ot/2к
(1.156)
В данном случае получаем лоренцевский контур с шириной (D/2k). Кривые, определяемые зависимостями (1.154) и (1.156), пересекаются при t0 - {2k)"1. Поэтому характерная частота, при которой лоренциан сменяется гауссианом, есть 2к. Интенсивность спектра при этом
ъг
D
Ф0 = ехр
(1.157)
Теперь вновь нужно рассмотреть две возможности: 1) Если D > к2, спектр в основном определяется гауссовской зависимостью, как на рис. 1.15, а; 2) при D <$ к2 линия в основном лорен-цевская (рис. 1.15, б) с шириной
2) 2к
D
Jd
(1.158)
При увеличении к лоренцевский вклад доминирует и ширина (1.158) уменьшается. Это пример сужения линии: если внешний шум скоррелирован в меньшем временном интервале, (1.147), то ширина линии уменьшается.
Для атомных спектров отличие от лоренциана проявляется лишь на далеких крыльях и наблюдать это очень сложно.
Забавной иллюстрацией дефазировки квантовой когерентности является некий кот, рассмотренный Шредингером. Участвуя в обсуждении основных аспектов квантовой механики, Шредин-гер предложил мысленный эксперимент. Посадим кота в ящик. В том же ящике разместим радиоактивный источник и детектор60
ГЛАВА 1
Лоренциан
Лоренциан
ФМ
а
б
РИС. 1.15. Различие между гауссовской и лоренцевской формами спектральных линий, а — Преобладает гауссовская кривая. Лоренциан описывает лишь узкую зону малых частот, что экспериментально проверить очень трудно, б — Ббль-шая часть линий представляет собой лоренциан и лишь участок кривой при больших отстройках обрезается более быстро за счет гауссовской зависимости. Такова обычная ситуация в атомных системах. Экспериментально исследовать крыло линии также затруднительно.
излучения. В случайный момент времени детектор зарегистрирует испущенную радиацию. Это приведет в действие молоток, разбивающий бутылку с ядом (в том же ящике). Кот вдохнет ядовитые пары и погибнет, но экспериментатор не узнает об этом, не открыв ящика и не исследовав его содержимого.
Радиоактивный распад — предмет квантовой механики. Поэтому мы можем построить суперпозиционное состояние из двух базисных векторов, первый из которых — нераспавшийся образец и живой кот, а второй — излучивший образец и погибший кот. Вопрос: каково коту в этой суперпозиции?