Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стенхольм С. -> "Основы лазерной спектроскопии" -> 9

Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.

Стенхольм С. Основы лазерной спектроскопии — М.: Мир, 1987. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovilazernoy1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 87 >> Следующая


(A{t)) = Lc:{t)CAt)Ann, (1.65)

пп'

где матричные элементы оператора А определяются выражением

Апп- = (%\А\%-). (1.66)

Поэтому, наблюдаемые величины могут быть лишь билинейными функциями амплитуд состояний системы. Выполнение этого условия является необходимым требованием квантовоме- •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ

33

ханического описания. В отличие от классической физики этим определяется возможность интерференции между различными уровнями и волновые свойства материи.

В идеальном спектроскопическом эксперименте с полем должен взаимодействовать лишь один атом (или молекула). Подавляющая часть экспериментов бесконечно далека от этого идеала, так как для получения наблюдаемого сигнала требуется большое число частиц. Лишь недавние успехи в области сверхчувствительной лазерной спектроскопии позволили исследовать единичные атомы, но пока это очень редкое исключение. Таким образом, мы всегда получаем наблюдаемые величины как результат усреднения по макроскопическому числу квантовых систем. Но и в реальном эксперименте, стремясь извлечь информацию об одной частице, мы, во всяком случае, должны использовать очень разреженные газы, в которых свойства частиц не изменяются из-за взаимодействия между ними. Но даже если это так, обычно не удается создать ансамбль частиц в одинаковых состояниях, т. е. вклады в сигнал от каждой из них могут быть различными. Поэтому мы говорим об усреднении по ансамблю частиц, находящихся в разных состояниях. Но именно в такой постановке задачи возможна проверка предсказаний квантовоме-ханических расчетов. При этом выбор невзаимодействующих частиц представляет собой статистический ансамбль, описываемый квантовомеханическими средними.

Статистическая механика вводит понятие ансамбля в том случае, когда неизвестно точное состояние исследуемого объекта. Для описания ансамбля используется матрица плотности (статистический оператор) р. Если известна матрица плотности, то можно определить и все наблюдаемые средние. Атомная спектроскопия исследует свойства отдельных атомов, но для получения наблюдаемого эффекта требуется проводить измерения с большим числом независимых частиц. Поэтому для рассматриваемых нами задач лазерной спектроскопии естественно привлекать аппарат матрицы плотности.

Рассмотрим ансамбль из N частиц. Пусть і-я частица находится в состоянии 1>. Квантовомеханическое среднее оператора А в этом состоянии есть {ф{І)\А I а результат статистического усреднения по всему ансамблю дает для наблюдаемой ве-

3—504 34

ГЛАВА 1

ЛИЧИНЫ

^y-TfE^W0)- (1-67)

1 = 1

Здесь результат усреднения представлен в виде суммы по всем частицам, составляющим ансамбль. Разложение Іі/-(/)> по базису Iipn) определяется коэффициентами

С»=^"). (1-68)

Переходя в (1.67) к базису I<рп), имеем

і пп'

= Lpn^ = SppA. (1.69)

пп'

Здесь мы определили новую матрицу

Рп'п = Itwc^* =C^*. (1.70)

/ = 1

Эта матрица называется усредненной по ансамблю матрицей плотности, или статистической матрицей.

Пока мы определили матрицу плотности в конкретном представлении, но зависимость от выбора базиса можно исключить, если заметить, что рп,п — это матричные элементы оператора, который сам по себе от представления не зависит. Введем оператор I ^X ^1M, относящийся к /-й частице, и усредним его по ансамблю следующим образом:

P =IWl= І L I^W0I- (1-71)

/=.1

Очевидно, что оператор р уже не зависит от выбора базиса (см. рис. 1.8). Его матричные элементы в представлении <рп совпадают с рп,п из (1.70)

<<P„"|Pl<Pn> = 77 E <%#(,)><*(,)l%>

/ = I

= if E W'* = рп,п ¦ (1.72) •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ

35

'1 Оси гильбертова ' пространства

Состояния ф(0

2

РИС. 1.8. Ансамбль независимых квантовых систем можно представить набором единичных векторов в гильбертовом пространстве. Каждый из векторов соответствует одному из состояний ансамбля. Такой набор векторов состояния в квантовом случае является аналогом точки в фазовом пространстве для классической статистической механики. Гильбертово пространство реальных систем имеет большую, а часто и бесконечную размерность. Для простоты мы взяли лишь три измерения. Другая сложность состоит в том, что векторы состояний в квантовой механике — комплексные величины, а значит, каждая компонента в гильбертовом пространстве задается двумя числами.

. Матрицу плотности можно представить и в другом виде. Рассмотрим для этого состояния I >, в которых могут находиться частицы ансамбля. На эти состояния не накладывается каких-либо ограничений, в частности они могут быть неортогональными и даже совпадать. Обозначим через Na число состояний I I^a') среди всех Af волновых функций I . При суммировании уже не по частицам, а по разным состояниям имеем

Теперь в сумме (1.71) можно выделить одинаковые слагаемые и

(1.73)

О 36

ГЛАВА 1

перейти к суммированию по состояниям. Тогда находим

а

- 1>(вМ«Х*(в)|. (1-74)

а

По сравнению с (1.71) мы определили матрицу плотности, суммируя операторы по состояниям одной частицы, а не по всем частицам, но при этом учли статистический вес
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed