Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
(A{t)) = Lc:{t)CAt)Ann, (1.65)
пп'
где матричные элементы оператора А определяются выражением
Апп- = (%\А\%-). (1.66)
Поэтому, наблюдаемые величины могут быть лишь билинейными функциями амплитуд состояний системы. Выполнение этого условия является необходимым требованием квантовоме-•ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
33
ханического описания. В отличие от классической физики этим определяется возможность интерференции между различными уровнями и волновые свойства материи.
В идеальном спектроскопическом эксперименте с полем должен взаимодействовать лишь один атом (или молекула). Подавляющая часть экспериментов бесконечно далека от этого идеала, так как для получения наблюдаемого сигнала требуется большое число частиц. Лишь недавние успехи в области сверхчувствительной лазерной спектроскопии позволили исследовать единичные атомы, но пока это очень редкое исключение. Таким образом, мы всегда получаем наблюдаемые величины как результат усреднения по макроскопическому числу квантовых систем. Но и в реальном эксперименте, стремясь извлечь информацию об одной частице, мы, во всяком случае, должны использовать очень разреженные газы, в которых свойства частиц не изменяются из-за взаимодействия между ними. Но даже если это так, обычно не удается создать ансамбль частиц в одинаковых состояниях, т. е. вклады в сигнал от каждой из них могут быть различными. Поэтому мы говорим об усреднении по ансамблю частиц, находящихся в разных состояниях. Но именно в такой постановке задачи возможна проверка предсказаний квантовоме-ханических расчетов. При этом выбор невзаимодействующих частиц представляет собой статистический ансамбль, описываемый квантовомеханическими средними.
Статистическая механика вводит понятие ансамбля в том случае, когда неизвестно точное состояние исследуемого объекта. Для описания ансамбля используется матрица плотности (статистический оператор) р. Если известна матрица плотности, то можно определить и все наблюдаемые средние. Атомная спектроскопия исследует свойства отдельных атомов, но для получения наблюдаемого эффекта требуется проводить измерения с большим числом независимых частиц. Поэтому для рассматриваемых нами задач лазерной спектроскопии естественно привлекать аппарат матрицы плотности.
Рассмотрим ансамбль из N частиц. Пусть і-я частица находится в состоянии 1>. Квантовомеханическое среднее оператора А в этом состоянии есть {ф{І)\А I а результат статистического усреднения по всему ансамблю дает для наблюдаемой ве-
3—50434
ГЛАВА 1
ЛИЧИНЫ
^y-TfE^W0)- (1-67)
1 = 1
Здесь результат усреднения представлен в виде суммы по всем частицам, составляющим ансамбль. Разложение Іі/-(/)> по базису Iipn) определяется коэффициентами
С»=^"). (1-68)
Переходя в (1.67) к базису I<рп), имеем
і пп'
= Lpn^ = SppA. (1.69)
пп'
Здесь мы определили новую матрицу
Рп'п = Itwc^* =C^*. (1.70)
/ = 1
Эта матрица называется усредненной по ансамблю матрицей плотности, или статистической матрицей.
Пока мы определили матрицу плотности в конкретном представлении, но зависимость от выбора базиса можно исключить, если заметить, что рп,п — это матричные элементы оператора, который сам по себе от представления не зависит. Введем оператор I ^X ^1M, относящийся к /-й частице, и усредним его по ансамблю следующим образом:
P =IWl= І L I^W0I- (1-71)
/=.1
Очевидно, что оператор р уже не зависит от выбора базиса (см. рис. 1.8). Его матричные элементы в представлении <рп совпадают с рп,п из (1.70)
<<P„"|Pl<Pn> = 77 E <%#(,)><*(,)l%>
/ = I
= if E W'* = рп,п ¦ (1.72)•ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
35
'1 Оси гильбертова ' пространства
Состояния ф(0
2
РИС. 1.8. Ансамбль независимых квантовых систем можно представить набором единичных векторов в гильбертовом пространстве. Каждый из векторов соответствует одному из состояний ансамбля. Такой набор векторов состояния в квантовом случае является аналогом точки в фазовом пространстве для классической статистической механики. Гильбертово пространство реальных систем имеет большую, а часто и бесконечную размерность. Для простоты мы взяли лишь три измерения. Другая сложность состоит в том, что векторы состояний в квантовой механике — комплексные величины, а значит, каждая компонента в гильбертовом пространстве задается двумя числами.
. Матрицу плотности можно представить и в другом виде. Рассмотрим для этого состояния I >, в которых могут находиться частицы ансамбля. На эти состояния не накладывается каких-либо ограничений, в частности они могут быть неортогональными и даже совпадать. Обозначим через Na число состояний I I^a') среди всех Af волновых функций I . При суммировании уже не по частицам, а по разным состояниям имеем
Теперь в сумме (1.71) можно выделить одинаковые слагаемые и
(1.73)
О36
ГЛАВА 1
перейти к суммированию по состояниям. Тогда находим
а
- 1>(вМ«Х*(в)|. (1-74)
а
По сравнению с (1.71) мы определили матрицу плотности, суммируя операторы по состояниям одной частицы, а не по всем частицам, но при этом учли статистический вес