Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
223
Нетрудно видеть, что эти дополнительные ограничения являются прямым
следствием того, что в данного рода задачах приходится доказывать
абсолютную и равномерную сходимость рядов (36), (36j) и (362) и при t =
0, тогда как в задачах первого типа (теории теплоты) благодаря входящему
в каждый член соответствующих рядов множителю е~хк* легко устанавливается
их сходимость как раз для значений t , больших нуля.
Вообще, необходимость доказывать равномерную сходимость рассматриваемых
рядов вытекает из самой сущности метода Ляме - Фурье (Эйлера -Бернулли),
дающего выражение искомой функции U(x, t) в виде бесконечного ряда (48)
(или ряда (4) в случае задач), просуммировать который или преобразовать к
виду, удобному для дифференцирования, в общем случае не представляется
возможным.
По необходимости приходится изображать производные по t и х от функции
U(x, t) рядами, составленными из производных от членов ряда (48), которым
определяется функция U(x, t) ,что возможно лишь при равномерной
сходимости рядов (36), (36^ и (362) (или (5), (6) и (7)). Отсюда именно и
вытекают указанные выше дополнительные ограничения свойств функций Дх) и
Д(х), обуславливаемые не физическими требованиями задачи, а методом ее
решения.
К сожалению, никакого другого приема, столь же общего и столь же
соответствующего существу дела, как изложенный выше, не существует, и во
всех немногочисленных простейших частных случаях'*), подвергнутых
исследованию, окончательное решение обыкновенно приводится к изображению
искомой функции при помощи рядов (48) или (4).
Однако строгого обоснования рассматриваемого приема для общего случая и
выяснения тех достаточных условий, при наличии которых применение его
является несомненно законным, до сих пор не было дано.
Теоремы пп. 10, 24 и 26 пополняют этот пробел, сводя число дополнительных
ограничений, налагаемых на функции /(х)и )\ (х), к возможно меньшему.
28. В тех простейших случаях, когда представляется возможность найти
сумму ряда (48), оказывается возможным получить решение задачи при
несколько более общих условиях относительно задаваемых функций Дх) и Д
(х).
Такие случаи весьма немногочисленны, и их основным типом служит
классическая задача о колебании упругой однородной. струны, которая
получается, если в указанной выше общей задаче принять р(х)= 1/"2, q(x) =
0. В этом сл>лае а = 0, b = /, где / означает длину струны, закрепленной
в точках 0 и /, а
а\ГТ кл
У к (*) = -~ sin - х,
у/Т1 кл у/Т 1 кл
Ак = --/Дх) sin -- xdx, Вк = - / /, (х) sin - xdx
al о I а кл в I
*) К таковым принадлежат задача о колебании однородной струны при
различных предельных условиях простейшего вида, задача об охлаждении
однородного твердого стержня и т.п.
224
и, по формуле (48),
2 " kattt кях 1 kvx
U(x,t)=- 2 cos ------------ sin J /(jr)sin --- dx +
/ *=i I I о I
2 " 1 kattt kttx kttx
+ - 2 - sin--------sin---------//i(x)sin ----------- dx.
тта k-\ к I Id I
(53)
Это есть известная формула Эйлера - Бернулли.
29. В рассматриваемом простейшем примере этот ряд легко суммируется,
причем, как известно, получается следующий результат:
U{x, t) = y(x + at) + ф(х -at), (54)
где
^(jc+ at) = - f{x + at) + - / /, i$)dl-
2 2 a о
Их-at) =Lf(x-at)--^-X /7. (t)dt
2 2a d
(54.)
а функции f(x) и /, (jc) продолжаются за пределы промежутка [0,/], где
они заданы, так, чтобы ^(?) и ф(%) вышли периодическими функциями от ^ с
периодом 21*). Отсюда видим, что функция U(x, г), определяемая рядом (53)
или, что то же, формулами (54) и (54,), действительно дает решение задачи
лишь в том случае, если функция Дх) имеет производные двух первых
порядков, а функция j\(x) - производную первого порядка, причем, как это
следует из физических требований задачи, нужно допустить, что f{x) и /,
(jc) удовлетворяют условиям (52).
30. Этот классический пример показывает, что только что указанные
ограничения свойств функций /(jc) и /,(jc) вызываются самой сущностью
задачи и что нет оснований рассчитывать на возможность освободиться от
некоторых из них при исследовании общего случая.
Сравнивая затем результат, полученный для рассматриваемого простейшего
случая, с общими теоремами п. 26 или 24, можем признать дополнительные
ограничения, которые несомненно должны возникать при самой общей
постановке вопроса и которые действительно имеются в этих теоремах,
сравнительно незначительными и устранимыми лишь в частных, наиболее
простых случаях, подобных указанному в предыдущем пункте.
*) Не останавливаясь на хорошо известном доказательстве, отсылаем
читателя к соч. акад. А.Н. Крылова ''О некоторых дифференциальных
уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических
вопросах" (С.-Петербург, 1913, стр. 145), а также трактату Жордана (С,
Jordan "Cours d'Analyse" (Paris, 1887, T. Ill, стр. 392)).
225
ЧАСТЬ II
Основные задачи математической фнзнкн для тел трех измерений
ГЛАВА I
Потенциал объемных масс и его основные свойства.
Теорема Пуассона. Преобразование объемных интегралов и теоремы Грнна.
