Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
и формулы (41) и (42) приводят к следующей:
ХИ*= / \q{x)f(x) f"(x)\Vk(x)dx. а
Сделаем, наконец, еще следующие предположения:
1°. Вторая производная /"(х) удовлетворяет неравенству Коши
l/"(x') -/"(x)|<ju|x'-xl. (44)
2°. Функция р(х) положительна и не обращается в нуль ни в одной из точек
промежутка \а,Ь\.
3°. Функции р(х) и q(x)*) не только непрерывны, но также подчиняются
условию Коши, т е.
\р(х')-р(х)|<д, Ix' - xi, 1<?(х')-<у(х) 1 < р2 I х'- х I, (44,)
где р. д,, д2 суть числа, не зависящие от положения точек х'ихв
промежутке [а. Ь].
*) Само собой разумеется, что q(x) остается неотрицательной в промежутке
\а. Ь \ 218
При этом функция
. *(х)/(х)-/"(*)
*(х)=----------------------------------------------------------------
(45)
Р(х)
будет непрерывной функцией, также удовлетворяющей условию Коши. Легко
убедиться, что
И*') - *(х)] р(х)р(х') =
= р(х)сДх')[Дх')~Дх)| -Р(х) [/V)-/"(*)] + \р{х')-р{х)\ /"(х) +
+/(^){p(Jf) !$(*')-?(¦*)] -?(*) И*')-р(*)1 } •
Так как в данном случае несомненно
IДх')- Дх)|<д01х'-х1,
где До есть число, не зависящее от положения точек х' и х, то, обозначая
через Р0 и Q0 max р(х) и q(x), через р0 niin р(х), через MylM2 max I Дх)
I
и I f"(x) I в промежутке [а, b\ и положив
PoiQoPo + Р + Рг)+Р\{М2 +MQ0) ¦
gs ---------------------------------
Po
получаем, при помощи (44) и (44,),
|Дх') - Дх)|<? Ix'-xl, (46)
где g есть, очевидно, число, не зависящее от положения точек х' и
х в рас-
сматриваемом промежутке \а,Ь].
Приняв в расчет (45), можем писать
М*" / p{x)f(x)Vk(x)dx = A'k, (47)
а
где Дх) есть функция, удовлетворяющая условию (46).
21. Воспользуемся опять формулой (60,) п. 27 и обозначениями п. 28
предыдущей главы. Получаем, при помощи (47),
? М*М*)= ? \кА'кВк(х).
к= I *= I
Ряд правой части зтого равенства отличается лишь обозначением от ряда
(65) п. 29 предыдущей главы.
Повторив дословно приведенные в указанных пунктах этой главы рассуждения,
убеждаемся, что ряд
? \к\А'кВк(х)\ = ? Х*ЫА.Р*(х)1
*=I *= 1
при сделанных в предыдущем пункте предположениях относительно функции Дх)
и функций р(х) и с/(х) сходится равномерно в промежутке [я, b].
Отсюда на основании сказанного в конце п. 19 заключаем, что ряды (36) и
(362) сходятся абсолютно и равномерно в промежутке [а,Ь] при всяком /,
если предположить, что функция /, (х) удовлетворяет тем же условиям (43,)
и (44), что и функция Дх).
219
22. Заметим, что для функции }\{х) условие (44) несущественно.
Ряд (38) будет сходиться равномерно, если /, (х) непрерывна вместе со
своей первой производной, допускает вторую производную, интегрируемую в
промежутке [а, Ь \, и удовлетворяет условиям
/'i(*)-e/i(e)-U/i(ft) = 0,
А (а) - ll\ {а) + otfi(b) = 0.
В самом деле, приняв в расчет выражение (35) для Ск, получаем, подобно
предыдущему,
Х*С* = / Р(х)^,(х)КЛ(х)с/х = С'к ,
а
<7(*)/i(*)-/"(*)
где^1(х)=--------------------, и затем, на основании (60,) п.27
гл.Хи(38),
Р(х)
? \k\BkVk(x)\= Z у/ТГ \С'кВк(х)\. к = 1 к = I
Но у/Т? \ С'кВк(х)\ "2 - (Ск2 + \кВк(х)). Так как ряд ? Ск сходится,
2 к -¦ I
какова бы ни была интегрируемая функция ip(x), а ряд ? \кВк(х) схо-
*• = I
дится при всяком х в промежутке [а, Ь \, как указано в п. 28 гл. X, то
ряд (38) также сходится.
Доказав его сходимость, докажем затем приемом, указанным в п. 29
предыдущей главы, что ряд (38) сходится не только абсолютно, но и
равномерно.
23. Остается еще доказать сходимость первых из рядов (37) и (37,). В силу
второго из уравнений (35) достаточно установить только сходимость первого
из них.
Мы только что доказали абсолютную и равномерную сходимость ряда
X
(362),обозначенного через 54. Поэтому можем утверждать, что ряд f S4tlx
а
сходится также абсолютно и равномерно. Но, в силу (36,),
/ S^dx-Si -S3I (47,)
а
где Sj I = ? (Ак cos t у/\^ +Вк sin к - 1
Приняв в расчет второе из уравнений (41), получаем \ х-a =aSo{a) +
0So(b), где положено вообще
50(х)= ? (ЛА cos ty/H^ +Bkcost 'Ль)Ук(хУ к = 1
220
Так как на основании вышесказанного этот ряд сходится абсолютно и
равномерно во всем промежутке [а, Ь], то ряд531 сходится абсолютно.
Отсюда на основании (47!) заключаем, что ряд 53 сходится равномерно в
промежутке [а,Ь].
24. Сопоставляя все сказанное в этом и предыдущих пунктах, приходим
к.следующему результату:
Функция U(x, t), определяемая рядом
U(x,t)= Е (^fccosrv^ +?* sin Г\АГ) Vk(x), (48)
k= I
где
Ak = / p(x)f(x)Vk(x)dx,
" 1 * (48l)
Bk= ~7=r / p(x)fi(x)Vk(x)dx,
V Л* a
а Ук(х) (k = 1, 2, .. .) представляет полную систему фундаментальных
функций первого класса, есть непрерывная функция вместе со своими
производными первых двух порядков по t и х, действительно удовлетворяющих
уравнению (В), начальным условиям (3) и предельным условиям (а), если
заданные функции р(х) и q(x) и произвольные функции Дх) и fx (х) обладают
следующими свойствами:
Дх) и fx (jc) непрерывны вместе со своими первыми производными и каждая
из них удовлетворяет условиям
F (b) - aF(a) - /3F(b) = О,
