Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
F'(a) - уF(a) + aF(b) = О,
вторая производная от /(х) подчиняется неравенству Коши, а вторая
производная от fx (х) только интегрируема в промежутке [а, Ь].
Функция р(х) положительна (необращается в нуль), q(jc) неотрицательна, и
обе удовлетворяют условию Коши в рассматриваемом промежутке.
Решение задачи, даваемое рядом (48), есть единственно возможное.
Как видим, строгое решение задач математической физики второго типа
получается при больших ограничениях, по сравнению с задачами теории
тепла, как свойств функций р(х)и q(jc) , входящих в основное уравнение
(В), так и в особенности свойств задаваемых произвольно функций /(х) и fx
(х), освободиться от которых затруднительно.
25. Остановимся еще на задаче, требующей определить функцию U(x, t),
удовлетворяющую уравнению (В), начальным условиям (3) и граничным
условиям
U(a,t) = 0, U(b,t) = 0. (а,)
В частности, при а (х) = 0 получается задача о колебании неоднородной
струны данной длины b - а = I, закрепленной в концах.
В случае р(х) = а2 получается такая же задача об однородной струне,
изучение которой положило, как известно, начало всем современным теориям
математической физики и привело к решению многих связанных с этими
теориями важных вопросов анализа.
221
Решение, как и в общем случае, представится рядом (18) (или (48)), если в
нем под Vk (дг) подразумевать фундаментальные функции, определяемые
уравнениями
Г*(лг)+ 1Х*/>(*)-</(*)! М*) = 0. (49)
Vk(b) = 0, Vk(a) = 0. (50)
Вопрос, как и в предыдущем случае, сводится к определению условий, при
которых действительно выполняются начальные условия (20), а ряды (38) и
(39) сходятся равномерно.
На основании теоремы п. 30 предыдущей главы заключаем, что условия
(20) несомненно будут выполнены, если функции /(дс) и /, (дс) имеют
первые производные и удовлетворяют равенствам
Да) =/(/>) = 0,
(50.)
/.(*) = 1\(Ь) = 0,
что мы и будем предполагать.
Остается найти условия, достаточные для равномерной сходимости рядов
(38) и (39).
26. Предположим, что /(х) имеет вторую производную.
Формулы (42) и (43) дают, в силу (50,),
= / p(x)y(x)Vk{x)dx = А'к, (51)
а
где, как и в п. 20, функция <р(х) определяется равенством (45).
Применив снова формулу (60,) п. 27 предыдущей главы, получаем, при помощи
(51),
2 Х*Ы*К*(дс)1 = ? Х*ы;я*(дс)1. (39)
* = I * - I
Мы уже знаем, что ряд ? \кВ2к( х)
к= I
есть ряд сходящийся. Что же касается ряда ? X* Ак ,
*= I
то на основании теоремы п. 24 гл. X он будет сходящимся, если функция
Ддс) обращается в нуль для пределов а и b промежутка [а, Ь] и
удовлетворяет условию Коши. Последнее условие будет соблюдено, если
функции р(х), q(x) и /(дс) подчиняются требованиям 1°, 2° и 3° п. 20, а
условия
у(а) = $ф) = 0 222
на основании (50,) и (45) приводятся к таким:
/"=/"(" = 0.
Из сказанного вытекает (ср. п. 21), что ряд (39) при соблюдении только
что указанных условий сходится равномерно.
Что же касается равномерной сходимости ряда (38), то она доказывается в
данном случае совершенно так же, как и в п. 22, при одном условии, что
функция /1 (х) имеет вторую производную, интегрируемую в промежутке [а,
Ь\.
Таким образом, функция U(x, t), определяемая рядом (48), где коэффициенты
Ак и Вк имеют вид (48,), a Vk(x) (к = 1, 2, 3, ...) представляют полную
систему фундаментальных функций первого предельного класса, есть
непрерывная функция со своими производными двух первых порядков по
переменным tux, действительно удовлетворяющая уравнению (В), начальным
условиям (3) и граничным условиям вида
U(a, t) = 0.
U(b, 0 = 0,
если функции p(x),q(x) уравнения (В) и произвольно задаваемые функции
/(х) и /, (дс) обладают следующими свойствами:
функция р(х) положительна, с/(дс) неотрицательна, и обе удовлетворяют
неравенству Коши в промежутке [а, Ь);
функции /(дс) и fx (дс) непрерывны со своими первыми производными и
удовлетворяют условиям
/00 = 0,
/.00 = 0,
/.00 = 0;
Кроме того, функция /(дс) имеет вторую производную, подчиненную
неравенству Коши и обращаются в нуль при х = а и x = b, a /j (дс) имеет
вторую производную, только интегрируемую в промежутке [а, Ь\.
Решение, даваемое рядом (48), есть единственно возможное.
27. Заметим, что ограничения, налагаемые на заданные функции /(дс) и
/г(*) уравнениями (52), вытекают из самой сущности задачи.
В самом деле, /(дс) и /, (дс) представляют соответственно начальные (при
t = 0) отклонения упругой струны от положения равновесия и скорости,
которые сообщаются отклоненным точкам в начальный момент времени.
Так как струна предполагается закрепленной в концах, то, понятно, и в
начальный момент времени эти величины должны равняться нулю, что
аналитически и выражается равенствами (52).
Наиболее стеснительными условиями, не вытекающими непосредственно из
физического смысла задачи, является требрвание о существовании
непрерывных производных двух первых порядков от функции /(х) и fx (дг) и
в особенности требование, чтобы /'(х) обращалась в нуль на концах
промежутка [а, Ь].
