Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначая через </тг элемент объема этой области, можем писать
, , Э2(1/г) j , f Э2(1/г) j , 1 1 ^ ,
где по-прежнему p есть значение плотности д для точек рассматриваемой
области, на которую распространяется интегрирование, ад- значение
плотности в точке т. Мы знаем, что первый интеграл правой части
последнего равенства равен нулю*); что же касается второго, то, приняв во
внимание
*) См., например, Жордана (С. Jordan) ''Cours d'Analyse" (Paris, 1894, p.
201).
неравенство (6) и заметив что
з(* - S)2
< - dr2 = г2 duidr, убеж-
г г .
Р , 16 7Т0
даемся, что модуль его меньше, чем 40 / dсо / ra ~ dr = -----------------
--- (ра -
- р'а). Следовательно, р а
Э2 (1 /г) lim / д' -- t/T2 = 0 р .р - о Эл
Таким образом, доказано, что интеграл правой части равенства(21)
стремится к определенному пределу при р -*¦ 0 (обозначим его через /л ) и
что
lim
р - о
/Р
167Т0
< ----------- р" = /У2 р" .
(22)
Рассмотрим теперь разность е(6) =
^(m,)-^(m) 4 я
--------------/ + д
5 3
При произвольном р, р > 15 |, приняв в расчет (7) и (9), получаем
J 1
л .Г ъ - э -
4 л 1 , г 1 г
е (б) = /+-д + - /д ----------dr2 -/д dт2
3 5 дх дх
/р'
1
э2 7
1
dr2 - lim /р'-
Эл: р'-" о
и, в силу (10), (20) и (22),
5-*- 5
Эх2
I (% - х - Ь %- x\dTi 4я
€(6)<|/, |+ / -------------------------------
I \ Г, 3 г3 / 5 3
I Р I +
/р'1
1
э -
r_i_
дх
1
дх
1
и Э2 -
d 72 г ' Г J
---------/Р ^~T~dT2
о дх2
1
lim /р' -----------------
'' - о Ъх1
~d т2'
<(ЛГ, +/v2
I / ?-х-5 %~х\ dTt 4п
_)_¦ т
/(<'1
1
Э2
\ 5 \ дх дх / Эл:2.
= (jV, +N2 )ра + е,(6,р) + е2(6,р).
1</ т2
232
Возьмем произвольное положительное число е и выберем число р столь малым,
чтобы выполнялось неравенство (Nt + N2) р" < е'/З. Далее,при этом
фиксированном р выберем положительное число б0 столь малым, чтобы для
всех чисел 6, удовлетворяющих неравенству |6| <6", были выполнены
неравенства
I / ? - дг - 5 ?-xWt, 4я
~ Лг+г
< е/3
(см.(11))
е2 (5,Р):
< е'/З.
Таким образом, е (б) является величиной, стремящейся к нулю одновременно
с б, т.е.
Э2 U ЪХ
4тг
дх2
дх
'Р-
(23)
Из всего сказанного выше следует, что если плотность объемных масс
удовлетворяет условию Гельдера, то в любой точке внутри этих масс вторая
производная от потенциала U по х имеет определенное значение. Совершенно
так же можно доказать и следующие равенства:
Э2 U
А *У
4 7Г
р.
ду
d2U 4тг
(24)
(25)
где
1
э2 -
э2 -
/,, = lim f р'¦
ду2
dr2, lz - lim / р'
р-0
dz2
dT2.
Сложив равенства (23), (24) и (25), получим AU = -4тгр, ибо,как известно,
при всяком р
1
/р А - dr2 = О, г
а следовательно,
1
1Х + [у + /г = liin / р А - dr2 = 0. p-о г
Таким образом, функция Uпри условии Гельдера относительно плотности р
удовлетворяет уравнению Пуассона AU = - 4 яр внутри поверхности (5) (в
области (D)).
5. Нетрудно установить высшие пределы для значений потенциала i/и его
первых частных производных в области (/)) (внутри поверхности (S)).
233
Мы будем считать функцию д, в соответствии с ее физическим смыслом
(плотность).положительной во всех точках области (?>), причем потенциал U
(равенство (1)) будет также положительной функцией во всем пространстве.
Очевидно,
где До есть max д в области (?>) *).
Если обозначим через I радиус шара, объем которого равен объему данного
тела, то как нетрудно убедиться,
Этими неравенствами придется пользоваться впоследствии.
6. Будем подразумевать теперь под U какую угодно функцию координат
х,у, z непрерывную с ее частными производными первого порядка как внутри,
так и вне некоторой замкнутой поверхности (5), разграничивающей все
пространство на две области (?>) и (?)'), из которых первая лежит внутри
поверхности (5), вторая - вне ее. Поверхность (5) мы будем называть
иногда границей областей (?>) и (?>*), причем эта поверхность может
состоять и из совокупности нескольких отдельных замкнутых поверхностей.
При переходе через границу (5) как сама функция U, так и ее первые
частные производные могут испытывать разрыв.
Вообще говоря, можно предполагать, что U не будет стремиться к
определенному пределу, когда мы будем приближаться с точкой x,y,z к
какой-либо точке поверхности (5) по тому или иному пути, что предел этот
существует с одной и не существует с другой стороны (5), что величина его
зависит от пути, по которому мы подходим к поверхности (5); можно
допустить, что пределы эти существуют, но выражение U, если в него
непосредственно подставим значения координат соответствующей точки
поверхности, не имеет смысла, или, наоборот, это последнее выражение для
U получает определенное значение, но отличное от его соответствующих (для
данной точки поверхности (5)) предельных значений функции U, и т.п.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь тот случай, когда функция U
стремится к определенным пределам во всех точках поверхности (5),
*) В замыкании области (D). (Прим. ред.)
Г
0</------ <2тг/2.
(26)
г
Поэтому
0<t/<2 лд0 /2-
(27)
Так как |(? - х) / г | < 1, то \Х\ =
