Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Di), целиком лежащую внутри (D), что для всякой пары точек М'(х,у\ г')и
М"(х",у", z")областифх) функция р удовлетворяет условию
I / 11 ft ? ft 1 f \ I ? л Of
\й(х ,У ,Z )-М(Х ,y,z)K0r ,
где 0 и а < 1 суть две определенные постоянные, а г есть расстояние между
точками М" и М', то вторые частные производные функции U (потенциал
объемных масс плотности р ) имеют определенные значения в точке М(х,у, z)
и удовлетворяют в этой точке уравнению Пуассона.
Доказательство Гёльдера довольно сложно и может быть заменено более
простым, которое я и приведу в следующем пункте **).
4. Пусть от - какая-либо точка области (D). Допустим, что около этой
точки можно описать сферу (2) некоторого определенного радиуса R такую,
что для точки от и всякой другой точки т, внутри (2) имеет место
неравенство
I p-pl\<pda, (6)
где р и pi обозначают значения плотности в точках от и от ,, a d есть
расстояние между ними.
Опишем вокруг точки от другую сферу (а) достаточно малого радиуса р и
обозначим через r/т, элемент объема шара, ограниченного сферой (а), через
йт2 - элемент объема остальной части области (?)), ограниченной данной
поверхности (5). Потенциал масс, заполняющих с плотностью р область (D),
на точку х, у, z представится в виде
I !
IX IX
U = f - dr 2 +J - drl9 г г
где р' - значение плотности р в переменной точке rj, f области (D),
откуда
а!
ъи , г р'(%-х)
- =X(m) = f р - (1тг +/ --------------- - г/т, . (7)
дх дх г
Возьмем внутри сферы (а) другую точку т, , достаточно близкую к от; не
нарушая общности, можем предположить, чта точка от, находится на
положительном направлении оси х на расстоянии 5 от точки от, причем 5
подчинено единственному условию 5 < р. Положим
*i(ot) = J ------ г/т,. (8)
*)См., например, Жордана (Jordan) ''Cours d'Analyse", Т. II (Paris, 1894,
p. 196).
**) В доказательство этого утверждения внесены некоторые изменения.
(Прим. ред.) 228
Обозначим через г, расстояние точки т i от переменной точки %,r\, f
объема, ограниченного сферой (а). Величина предыдущего интеграла Х\ (т)
для точки т, представится в виде
и'(Ц-х-б)
А' 1 (т,) =/ --------- Jtj
г 1
Из этих двух равенств выводим
/= =/-^(3- -------- . ]dTl. (9)
Положив
можем писать
дс-б $-дс ^ Jt,
¦"Ч-*- ]т+Л-
I -+/.- (10)
Очевидно, что
/ %-х - б ? -дс \ Jt,
lim J I з--------------- -
6-о \ rj r/b
представляет собой значение второй частной производной по х от потенциала
однородной сферы с плотностью, равной единице, на точку х,у, z. Как
известно (см. любой курс теории притяжения),
6-0 \ г? г3 / б 3
следовательно,
(% -х - б 1- -дЛ Jt, 4л
йтд/!----------------_ л. (П)
6 - о \ г, г / б 3
Рассмотрим теперь интеграл /,, который можно написать в виде
, /11 \Jt, , Jt,
/, =j (д -дн^-дс-б)!- - _1__/(д'-д) =к+К'. (12)
\ г, г / 6 г
Если обозначим через Jco элемент поверхности сферы радиуса единица, то
получим
Jt, =r2JcoJr. (13)
и, следовательно
dr i , dr I 47тв Л
1*1 = 1/01 -л)-7 КЛр -р1 - <~Ра. (15)
г, г а
Рассмотрим, наконец, интеграл
/1 I \drt
K = f(p'-р)(5-дг - 5)^--pj-g- <16>
Имеем
1 (1 _ _!)= ('2-'?Н'2+"> + '?)
5 г3/ 5г,3 г3(г + г,)
(2(5 - дг) -5) (г2 + гг| + г,2)
r7f(r + r,) откуда
|_J/J Л| (г2 +rrt +Г?) 3(гд +/¦?)
I 6 \ г,3 г3/1 г3 г? 2г3 г?
ибо 15-х|^г, 15 - Jc - 5 | < г,, /г, < (г2 + г i)/2. Приняв в расчет эти
неравенства и (6), получаем
30 J 1 1 \
1К'*Т>'Ь + ^Г" <|7)
Подобно предыдущему, можем писать
fra-34rt =fdu>S ra~l dr= - ра. (18)
• а
Опишем около точки от, Другую сферу (o') радиуса р + 5 и обозначим через
dr\ элемент объема шара, ограниченного этой сферой. Тогда
dr \ dt\ р + 6
/'e_l - </re-' -7 =/</ы/ r-ldrlt
Г Г Т\
ибоdr\ = r\ doidrx .Но
р+6 6 р+6
/г*"1 dr, =f ra~l drx + fra-ldrt.
• 7 6
Легко понять,что в первом из зтих интегралов т >5 - г,,а во втором т > г,
- 5. Поэтому, помня, что а < 1, получаем
6 6 got
/ г*-' А-, < Г (5 -г,)*-' dr, ,
о о а
р+ 6 Р + 6 дОГ
/ ra~'drx< } (rt -&)"-' drt= - ь s а
230
Это неравенство вместе с (17) и (18) приводит к следующему:
6эт0
IК\< ------ (5 + 2р ) . (19)
а
Заметив, что в силу (12),/, =К' + К, выводим отсюда, при помощи (15) и
(.19),
6 *0/ 8 \
1/1 ТГ +7 P*)<Nxp*_, (20)
где Nx есть конечное число. Это неравенство справедливо при любом 5,
которое подчинено единственному условию 5 < р.
Очевидно, что последнее неравенство остается справедливым и в случае,
когда точка т, находится на отрицательном направлении оси х (- р <
<6 <о). ьи
Докажем, что существует производная по х функции X = ------------- в
дх
точке т:
дХ X(mi)-X(m) Э2(1 /г)
= lim =JV -^Tirfr2+ lim /• (21)
дх б - о о Эдг б - о
Для этого достаточно показать, что интеграл от функции д' -------------,
рас-
Прежде всего покажем, что если р стремится к нулю, то интеграл в правой
части предыдущего равенства стремится к определенному пределу.
, а1^1/г)
дх2
пространенный на область, заключенную между двумя концентрическими
сферами с радиусами р и р' и общим центром в точке т, стремится к нулю,
когда р и р стремятся к нулю одновременно.
