Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Столкновения между фононами тогда не смогут остановить общий дрейф
фононного газа, аналогично тому, как столкновения между молекулами не
могут затормозить поток газа в трубе с гладкими стенками.
Для теплопроводности газа это не существенно, поскольку число молекул при
их столкновениях сохраняется, поэтому в трубе с закрытыми концами дрейф
приведет к накоплению газа на одном конце, в результате чего возникнет
градиент давления, который прекращает дрейф. (Необходимо, однако,
учитывать, что теплопроводность газа можно измерить только при условии,
что конвекция отсутствует.) В случае фононов закона сохранения их числа
не существует, и температурный градиент по необходимости сопровождается
градиентом фонон-ной плотности, приводящим к появлению дрейфа.
Таким образом, теплопроводность идеального кристалла может иметь конечное
значение только при учете структуры решетки, разрешающей столкновения, в
которых суммарный волновой вектор изменяется на базисный вектор обратной
решетки. Простым примером такого процесса служит столкновение двух
фононов, движущихся направо, с длинами волн, несколько меньшими, чем
учетверенный основной период решетки. Поскольку длина волны, равная
удвоенному периоду решетки, соответствует стоячей волне, в которой
поперечные плоскости атомов колеблются в противофазе, результатом будет
волна, распространяющаяся влево. Из-за такой перемены направления
групповой скорости на обратное эти процессы приобрели непривлекательное
наименование процессов переброса (Umklapp).
Столкновение подобного типа может произойти, очевидно, только при
условии, если хотя бы один из первоначально существовавших фононов будет
иметь волновой вектор, равный по крайней мере ;/3 наименьшего вектора
обратной решетки. Поскольку число фононов заданной частоты при низких
температурах уменьшается экспоненциально, то количество актов переброса
при низких температурах также должно становиться экспоненциально малым, а
это приводит к экспоненциальному возрастанию теплопроводности.
Экспоненциальный рост был обнаружен на опыте в Оксфорде Берманом и др.
$32]. То обстоятельство, что он не был открыт раньше, можно объяснить
несколькими причинами. Первая из них заключается в отсутствии
количественной теории, которая позволила бы найти
Квантовал теория твердого тела
187
температуру, ниже которой экспоненциальный закон становится
преобладающим. В прежней теории температура, при которой это происходит,
сильно завышалась. Кроме того, экспоненциальная зависимость отчетливо
проявляется только для почти идеального кристалла, поскольку дефекты
решетки, не обладая трансляционной симметрией, могут приводить к
рассеянию без сохранения волнового вектора даже в случае длинных волн.
Не обращалось внимания и на то, что дефектами решетки в этом смысле будут
служить также разные изотопы атомов, образующих решетку, так как разность
масс изотопов сказывается на прохождении волн различным образом, а это
тоже будет отклонением от свойств идеальной решетки. Это обстоятельство
было упомянуто Померанчуком [33]; однако для интерпретации экспериментов
оно стало применяться только после того, как тщательные исследования в
области низких температур показали, что предсказанная экспоненциальная
зависимость в некоторых веществах наблюдается, а в других отсутствует,
причем к первым относятся вещества, в которых преобладает один изотоп
каждого элемента.
Наконец, укажем на особенность, связанную с конечным размером образцов.
При низких температурах длина свободного пробега фононов увеличивается
настолько, что может стать сравнимой с размерами рассматриваемого
кристалла, и мы приближаемся к условиям, аналогичным режиму Кнуд-сена в
сильно разреженных газах, когда рассеяние на границах преобладает над
рассеянием внутри объема, а кажущаяся проводимость начинает зависеть от
размеров. Такое влияние размеров обсуждалось Казимиром [34], а совместное
влияние всех указанных факторов на низкотемпературную проводимость
рассматривалось Клеменсом [35].
Проблема возникновения дрейфа фононов и электронов усложняет также теорию
электропроводности металлов, но вряд ли стоит обсуждать этот вопрос
здесь; вероятно, он может служить лучшим примером таких проблем твердого
тела, которые Паули считал слишком сложными, чтобы они привлекали его
внимание.
Поскольку работы Паули по спиновым переходам в переменных полях, а также
по общей проблеме неравновесных состояний в статистической механике
(весьма существенные для важных разделов теории твердого тела)
рассматриваются в других статьях этой книги, то мы не, будем их касаться.
188
Р. Пайерлс
ЛИТЕРАТУРА
1. Р a u 1 i W., Zs. f. Phys., 41, 81 (1927).
2. Fermi E., Zs. f. Phys., 36, 902 (1926).
3. Sommerfeld A., Zs. f. Phys., 47, 1 (1928).
4. S о m m e r f e 1 d A., Zs. f. Phys., 47, 43 (1928).
5. Bloch F., Zs. f. Phys., 52, 555 (1928).
6. Pei er Is R., Zs. f. Phys., *53, 255 (1929).
7. P e i e r 1 s R., Ann. d. Phys., 4, 121 (1930).
