Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Блох [И] рассмотрел эту задачу в теории возмущений и выяснил, что при
достаточно низкой плотности электронов может возникнуть ферромагнетизм.
Зависимость от плотности обусловлена тем, что кулоновское отталкивание
обратно пропорционально расстоянию между электронами, т. е. изменяется,
как кубический корень из плотности, в то время как кинетическая энергия,
противодействующая в соответствии с принципом Паули ориентированию
спинов, изменяется, как квадрат кубического корня из плотности. Однако
как раз при условиях, когда взаимодействие достаточно сильно, чтобы
преодолеть эффект кинетической энергии, теория возмущений, которую
использовал Блох, становится неприменимой, так что его ответ представляет
собой не более, чем качественное указание. Эта задача о ферромагнетизме
свободных электронов - одна из немногих проблем в этой области,
допускающих ясную математическую формулировку, но все-таки еще не
решенных.
В модели Гайтлера - Лондона можно также обнаружить возможность
антиферромагнетизма. Последний возникает при условии, что соседние атомы
стремятся выстраивать свои спины в противоположных направлениях; поэтому
если электронные спины в соседних атомах будут противоположными, то
принцип Паули разрешает каждому электрону использовать пространство обоих
атомов. В пределе свободных атомов эта тенденция уже учитывалась Паули
при рассмотрении парамагнетизма, но убедительное исследование случая,
промежуточного между состоянием свободных электронов и сильно
упорядоченным антиферромагнитным состоянием, могущим возникнуть в пределе
Гайтлера - Лондона, было бы трудным.
Ни один из упомянутых до сих пор факторов не может объяснить, почему
многие металлы проявляют сильные диамагнитные свойства. Очевидно, ионные
остовы, т. е. электроны внутренних оболочек, не участвующие в
проводимости, дают диамагнитную восприимчивость того же порядка, *что и
атомы сравнимого радиуса с заполненными оболочками; однако их вклад
обычно меньше парамагнетизма Паули и, безус-
17 6
Р. Пайерлс
ловно, не может объяснить что-нибудь подобное сильному диамагнетизму
висмута.
Диамагнетизм атомов обусловлен влиянием магнитного поля на орбитальное
движение электронов, которое до сих пор не учитывалось.
Хорошо известно, что в классической статистической механике орбитальное
движение заряженных частиц не приводит к восприимчивости [12]. На первый
взгляд можно высказать противоположное утверждение, поскольку электрон с
компонентной скорости v в плоскости, перпендикулярной магнитному полю,
будет двигаться по траектории, проекция которой на эту плоскость есть
окружность радиусом r-mcv/eH [где е и т - заряд и масса электрона, с -
скорость света, Н - магнитное поле (в системе единиц Гаусса)]. Отсюда
можно заключить, что средний магнитный момент будет evrlc-mv2IH. Этот
результат, т. е. момент, не зависящий от заряда частицы, увеличивающийся
со скоростью и уменьшающийся с Н, не имеет физического смысла. Ошибка
этого рассуждения состоит в том, что здесь не учитываются процессы,
происходящие на границах области, доступной для электронов. Если мы
представим электроны, содержащиеся в ограниченном объеме (например, в
куске металла), то те электроны, орбиты которых пересекают поверхность,
будут отражаться. Испытывая последовательно ряд таких отражений, эти
электроны будут двигаться по траекториям, проекции которых охватывают всю
область в направлении, противоположном направлению движения внутренних
электронов по своим окружностям. Число таких поверхностных электронов
мало, но площадь, охватываемая их орбитами, велика, и, продолжая это
элементарное рассуждение, можно показать, что полный магнитный момент
точно равен нулю.
Такое же рассуждение справедливо для небольшой части рассматриваемого
объема, если учитывать все электроны, которые в каждый данный момент
находятся внутри данного элемента объема, а не те электроны (как
следовало бы из ошибочного рассуждения), для которых внутри элемента
объема находятся центры кривизны.
Более простой и ясный способ получения того же результата состоит в том,
чтобы начать с замечания о равенстве магнитного момента -dFIdH (где F -
свободная энергия, а Н - магнитное поле). Поскольку в классической
статистической механике свободную энергию можно получить, интегрируя
содержа-
Квантовая теория твердого тела
177
щуюся в ее определении функцию распределения сначала по импульсам и затем
по координатам, и поскольку единственное влияние векторного потенциала А
сводится к сдвигу импульса в каждой точке пространства на eAlc, то сразу
очевидно, что свободная энергия не зависит от Н.
Более прозаический вывод с помощью орбит, чувствительный к
соответствующему использованию граничных условий, оставляет у многих
впечатление, что мы имеем здесь дело с очень сложной ситуацией, и это,
вероятно, отбило у многих желание обобщить рассмотрение проблемы на
случай квантовых эффектов. Такое обобщение получил Ландау [13], показав,
