Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Q>e, а ~ \ dp dq сое> а (1*5)
gE, а
Энергетическая оболочка тогда будет иметь объем
Q? = cd?A Е. (1.6)
Максвелл и Больцман полагали, что фазовая точка P(t) с течением времени
проходит через каждую точку энергетической поверхности (эргодическая
гипотеза). В таком случае по теореме Лиувилля отсюда следует, что среднее
время пребывания системы в состоянии (Е, а) должно быть пропорциональным
&б,а - c0ejCC. Однако эргодическая гипотеза, конечно, неправильна. Но ее
можно заменить следующим более слабым предположением.
Пусть
ХЕ, ос (0 = 1, когда Р (t) в Ge, а,
Хе, a (t) = о, когда P(t) вне GE: а.
Тогда будет существовать среднее по времени ХЕ,а "почти для всех"
начальных значений Р(0). Оно равно
т
<1;7>
Мы называем эту гипотезу "эргодической теоремой". В этой формулировке
слова "почти для всех" означают, что из множества всех начальных
состояний pk, qk можно выделить часть
о о
Pm Qk> которая обладает нулевой мерой и для которой среднее по времени
(1.7) не существует или, хотя и существует, но не совпадает с (1.7).
Эргодическая теорема содержит утверждение не только о системе, но и о
наблюдателе, поскольку ее формулировка предполагает разбиение фазового
пространства на области GEi а. Можно сказать, что если она справедлива,
то система будет эргодической по отношению к некоторому наблюдателю.
Утверждение о том, что среднее по времени ХЕ,а существует почти для всех
начальных значений pk, qk, доказано.
13 Заказ № 214
494
Маркус Фирц
Однако значение этого среднего в общем случае неизвестно. Поэтому
неизвестно, каким образом, независимо от эргодиче-ской теоремы, можно
характеризовать эргодические системы или каким образом наблюдатели могут
установить, что по отношению к ним система эргодична.
Как показал Биркгофф, эргодическая теорема является следствием
метрической транзитивности системы. Система называется транзитивной, если
в фазовом пространстве существует одно и притом только одно инвариантное
определение меры, а именно каноническое определение меры. В силу теоремы
Лиу-вилля, именно это определение меры инвариантно. Однако метрическая
транзитивность означает нечто гораздо большее, чем условие (1.7),
поскольку теперь не требуется никакого разбиения фазового пространства на
области Ge, а в результате макроскопического наблюдения. Поэтому
метрически транзитивная система эргодична относительно произвольного
наблюдателя. Ее можно назвать "абсолютно эргодической" системой. Кроме
того, то обстоятельство, что макроскопические системы обладают
колоссальным числом степеней свободы,* не играет здесь никакой роли.
Большое число степеней свободы /^Ю20 все же ведет к следствию, при
котором условие (1.7) вовсе не должно выполняться точно, и Хв,а может
отличаться от &Е,а/&Е на много порядков, причем физически это ничего не
означает. (Если Хе, а~я* &е ,а/^к, то пренебрежимо малым по сравнению с /
должен быть лишь lga!)
Поэтому вполне вероятно, что для каждого физически возможного
макроскопического наблюдателя уравнениям (1.7) приближенно удовлетворяют
и такие макроскопические системы, которые не являются метрически
транзитивными.
Хопф [2]1) доказал, что материальная точка, движущаяся по поверхности
постоянной отрицательной кривизны, представляет "абсолютно эргодическую"
систему. Число степеней свободы в этом случае /=2. То обстоятельство, что
такая простая система является "абсолютно эргодической", дает основание
полагать, что несравненно более сложные системы статистической механики
обладают значительно более слабым свойством
(1.7). Доказательство этого предположения возможно, разумеется, лишь при
использовании колоссальности числа степеней свободы / и при условии, что
макроскопические опыты обладают физическим смыслом.
!) См. также [3].
Статистическая механика
195
До сих пор мы предполагали, что система описывается классической
механикой. Однако нашу формулировку эргодической проблемы можно перенести
без существенных изменений и в квантовую механику [4]. Тогда XE,a(t)
будет квантовомеханической вероятностью состояния (Е, а), принимающей
значения от 0 до 1; QE) а-число нестационарных собственных состояний,
принадлежащих данному макроскопическому состоянию; Qе - число
стационарных состояний на энергетической оболочке. Легко видеть,,что
среднее значение (1.7) существует, л можно снова потребовать, чтобы оно
приближенно равнялось &Е,а/&Е- Это требование представляет собой
утверждение о макроскопическом наблюдателе, и фон Нейман [5]1) пытался
доказать, что оно выполняется почти всегда. При этом он использовал
предположение о "распределении вероятности" для наблюдателей. Но если это
предположение принимается, то, как указали Ландсберг и Фаркхар [7], из
него следует, что достаточно большая система должна находиться в
равновесии почти для всех наблюдателей. Отсюда необходимо заключить, что
предположение фон Неймана лишено физического смысла. К тому же введение
априорных вероятностных гипотез с целью доказать эргодическую теорему
