Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
нельзя признать последовательным. То, что подчеркивалось уже П. и Т.
Эренфестами [8] по поводу старой эргодической гипотезы, справедливо и для
сформулированной здесь эргодической теоремы: она остается механической
теоремой (конечно, неявно она включает характеристику того, что следует
считать макроскопическим состоянием), служащей для того, чтобы свести так
называемую вероятность макроскопических состояний к частотам во времени.
Тем самым исключается понятие априорной вероятности, причем отпадает
необходимость снова вводить его в другом месте.
Хопф [2] доказал для эргодических систем еще теорему о перемешивании,
уточняющую соображения, выдвинутые Гиббсом в гл. 12 его книги [9].
Теорема о перемешивании гласит, что всякое распределение плотности на
энергетической поверхности через очень длинный промежуток времени
становится почти равномерным. Однако как ни замечательна эта теорема, она
имеет мало отношения к тому факту, что через определенный промежуток
времени достигается термодинамическое равновесие. Еще П. и Т. Эренфесты
при критике гиббсовой "главы о размешивании" указывали на то, что
времена, необходимые длд
*) См. также [6].
13*
196
Маркус Фирц
достижения в какой-то степени равномерного распределения плотности, по
порядку величины t должны соответствовать временам возврата, введенным
Пуанкаре, тогда как термодинамическое равновесие в большинстве случаев
устанавливается очень быстро. Здесь следует разъяснить, чем
характеризуется это равновесие. Предположим, следуя Больцману, что
энтропия состояния (Е, а) определяется равенством
S{E, a) = &lgQ (Е, а).
Измеряемые разности энтропии по порядку величины всегда равны kf.
Следовательно, если состояние (Е, а) должно иметь заметно большую
энтропию, чем состояние (Е, (3), то должно выполняться условие
lg ?2 (Е, а) - lg Q (Е, Р) = е/,
причем е может быть малым числом, но е/ всегда еще очень велико,
поскольку /~ 1020. Поэтому отношение
Q (Е* а) __ eef
Q (Е, р)
чудовищно велико, например ~ е10*2, что соответствует е=10-8. С течением
времени поэтому встречаются практически только те состояния, для которых
энтропия S (Е, а) почти не зависит от а, т. е. постоянна. При этом все же
будут происходить почти неизмеримые малые флуктуации энтропии. Они
соответствуют статистическим отклонениям системы от состояния равновесия,
например флуктуациям ее плотности. Переход в это состояние равновесия
наступает, как только фазовая точка выйдет из области Ge,$, чрезвычайно
малой по сравнению с Ge>а, а это в большинстве случаев происходит через
короткий промежуток времени.
Все эти соображения, какими бы поучительными они ни были, обладают
большим недостатком - вследствие своего чересчур общего характера они не
указывают способа доказательства утверждения (1.7) для конкретной
системы.
Решающий шаг в этом направлении удалось сделать ван Хову [10], когда он
поставил в качестве исходного вопрос о том, каким способом система
достигает равновесия. В рамках квантовой теории этот вопрос впервые
рассматривался Паули [11], который вывел в теории возмущений уравнение
(1.8)
Статистическая механика
197
Здесь Wa§- вероятность перехода из состояния а в состояние (3. Поскольку
= то отсюда следует, что Ха
асимптотически становятся пропорциональными йа. При этом выводе Паули
сделал предположение, что фазы невозмущенной системы будут всегда
некогерентными, а это соответствует гипотезе беспорядка, обычной также в
теории газов.
Ван Хов поставил перед собой цель вывести прежде всего
(1.8), не пользуясь статистическими предположениями. Он рассмотрел
системы с / степенями свободы, описываемые функцией Гамильтона Н - /7о+
W, причем Н0 описывает свободные частицы или волны, а XV - их
взаимодействие. Если ввести параметры а, естественным образом описывающие
собственные состояния то макроскопическим величинам должны
соответствовать операторы А=А( а)баа', причем А (а) медленно изменяется
относительно а.
Если функция Шредингера системы имеет вид
'ф (0 = е-ш'фо" С1-9)
а С (а) означают коэффициенты разложения ср0 в ряд по собственным
состояниям А (а), то математическое ожидание А в момент t выражается
формулой
2 С* (а) С (а') (а | eiHt Ae~iHt | а') = А ((). (140)
а, а'
Теперь ван Хов использует особое свойство матричных произведений вида
(alVA^ ...,AnV\a'). (1.11)
Для рассматриваемой им системы он показывает, что диагональные элементы
а=а' в пределе /=со становятся очень большими (они соответствуют членам
собственной энергии в теории излучения) и что это дает б (а-а'), т. е.
сингулярность (1.11) в пределе /= оо. Опираясь на это свойство, ван Хов
использует не только структуру системы, но и особый способ характеристики
макроскопических величин. Из свойств матрицы (1.11) следует, что матрица
в (1.10) имеет вид
(а | Ае-(tm) \ а'> = б (а - а') fx (а) + /2 (а, а'), (1.12)
причем /2 не содержит б-функций, а /х и /2 - функционалы
198
Маркус Фирц
А (а) и функции времени:
/1= J da'A{a*)P(t\a", а),
